3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量课件配套优秀公开课教案设计

3.2.1

直线的方向向量与平面的法向量

教学目标：

1．理解直线的方向向量和平面的法向量；

2．会用待定系数法求平面的法向量．

教学重点：

直线的方向向量和平面的法向量．

教学难点：

求平面的法向量．

教学方法：

新授课、启发式一一引导发现、合作探究．

教学过程：

一、问题情境

引导提问：

1．复***面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与

垂直的判定；

2．如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？

3．在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系．如何用向量刻画空间的两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？

4．为了用向量研究空间的线面关系同，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”，那么，如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？

二、学生活动

1．复***面坐标系中直线的方向向量，法线．

2．类比得到空间直线的方向向量．

3．思考如何用向量表示平面的“方向”．

三、建构数学

1．直线的方向向量．

1

我们把直线l上的向量e（e≠__________．

2．平面的法线．

0）

以及与e共线的非零向量叫做直线l的与平面 的直线叫做平面的法线．

3．平面的法向量．

如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α．此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．

一个平面的法向量有 个，过一个定点作平面的法向量有 个．

四、数学运用

1．例题．

例1

在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：DB1是平面ACD1的法向量．

证

设正方体棱长为1，以DA，DC，DD1为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系Dxyz，

则各点的坐标为A(1，0，0) ，

C(0，1，0) ，D1(0，0，1) ，

B1(1，1，1)，

所以DB1＝(1，1，1)，AC＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，0，1). DB1AC＝0，所以DB1. AC. 同理DB1又ACAD1AD1 ,

2

所以DB1⊥平面ACD．

从而DB1是平面ACD1的法向量．

注

在空间直角坐标系中,我们还可以用待定系数法来求平面的法向量．

变式：在正方体ABCDA1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量．

解：设平面ACD1的一个法向量为a＝(x，y，z)则

a⊥AC，a⊥AD1从而a·AC＝0，a·AD1＝0．

因为AC＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，0，1)，

所以－1·x＋1·y＋0·z＝0，－1·x＋0·y＋1·z＝0，

解方程组y＝x得到x＝zx－y＝0x－z＝0，

，

不妨取x＝1，则y＝z＝x＝1．

所以，a＝(1，1，1)就是平面ACD1的一个法向量．

思考

为什么要设x＝1？

例2 在空间直角坐标系内，设平面经过点P(x0，y0，z0)，平面的法向量为e＝(A，B，C)，M(x，y，z)为平面内任意一点，求x，y，z满足的关系式．

解：由题意可得PM＝(x ePM＝0

即(A，B，C)(xx0，yy0，zz0)x0，yy0，zz0)＝0

化简得A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．

2．练习．

（1）作业：课后练习1，2．

－1，4)，（2）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果AB＝(2，AD＝(4，2，0)2，－1)．

，AP＝(－1，

3

（1）求证：AP是平面ABCD的法向量；

（2）求平行四边形ABCD的面积．

（1）证明

∵APAB＝(－1，2，－1)(2，－1，－4)＝0，

APAD＝(－1，2，－1)(4，2，0)＝0，

∴AP又AB∴APAB，AP，

AD，

AD＝A平面ABCD，

∴AP是平面ABCD的法向量．

（2）|AB|＝2(2)＋(－1)＋(－4)＝2222221，

|AD|＝4＋2＋0＝25，

∴ABAD＝(2，－1，－4)(4，2，0)＝6，

∴cos(AB，AD)＝621×25＝3105105，

∴sinBAD∴S191053235，

6ABCD＝|AB||AD|sinBAD＝8．

五、要点归纳与方法小结

本节课学习了以下内容：

1．直线的方向向量和平面的法向量；

2．会用待定系数法求平面的法向量．

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