3.4 生活中的优化问题举例优秀教学设计

“一师一优课，

一课一名师”

《生活中的优化问题举例》教学设计

单位:齐市一中 姓名: 李娜

《生活中的优化问题举例》教学设计

齐齐哈尔市第一中学校 李娜

【教学目标】

使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会线性规划在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力. 【教学重点】

利用线性规划知识解决生活中的一些优化问题．

【教学重点】

利用线性规划知识解决生活中的一些优化问题．

【教学难点】

利用线性规划知识解决实际生活中的最优解

【教学过程】

一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，线性规划是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用线性规划知识，解决一些生活中的优化问题．

二．新课讲授

1.课题导入

[复习提问] 1、二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示什么图形？

2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？

2.讲授新课

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：

x2y84x164y12

……（1）

x0y0（2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

（4）尝试解答：

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：

当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？

2z2z把z=2x+3y变形为yx，这是斜率为，在y轴上的截距为的直3333线。当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是28确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（yx），33z这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，32z直线yx与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），33z而且当截距最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线32zyx与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内33z找一个点P，使直线经过点P时截距最大。

3（5）获得结果：

2z由上图可以看出，当实现yx金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点33z14M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产33甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。

2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

y④可行解、可行域和最优解：

3满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

x-y=02由所有可行解组成的集合叫做可行域．

111使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规(,)BO22划问题的最优解．

x12-2-1A(2,-1)1、变换条件，加深理解

C(-1,-1)-12x+y=0x+y-1=0

探究：课本第88页的探究活动

（1）

在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。

（2）

有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

3.随堂练习

1．请同学们结合课本P91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题. yx,（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y

满足约束条件xy1,

y1.解：不等式组表示的平面区域如图所示：

当x=0,y=0时，z=2x+y=0 点（0，0）在直线l0:2x+y=0上. 作一组与直线l0平行的直线

l:2x+y=t,t∈R. 可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大. 所以zmax=2×2-1=3. （2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满y5x3y15,足约束条件yx1,

x5y3.x-y+1=09173x+5y=0(,)A88x-5y-3=01C-1Ox3-1B5x+3y-15=05解：不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以917经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的88t最大. 所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11. 917zmax=3×+5×=14 884.课时小结

利用线性规划知识解决最优解问题基本步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

5. 作业

课本第93页习题[A]组的第2题.