3.1.1 变化率问题课时教案

1．导数与导函数的概念

(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim

→Δx0fx0＋Δx－fx0Δy＝lim

，我们称它ΔxΔx→0ΔxΔy为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作fx0或y|x＝x0，即f′(x0)＝lim

＝lim

Δx→0ΔxΔx→0fx0＋Δx－fx0. Δx(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′. 2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数

f(x)＝c(c为常数)

f(x)＝xα(α∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex

f(x)＝ax(a>0，a≠1)

f(x)＝ln x f(x)＝logax(a>0，a≠1)

导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1

－f′(x)＝cos x

f′(x)＝－sin x

f′(x)＝ex

f′(x)＝axln a

1f′(x)＝

x1f′(x)＝

xln a

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f′xgx－fxg′xfx(3)[]′＝(g(x)≠0)．

gx[gx]25．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

【知识拓展】

1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

f′x12.[]′＝－(f(x)≠0)．

fx[fx]23.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．

4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(

×

) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(

×

) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(

√

) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(

×

) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(

×

)

1．(教材改编)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于(

) A．0

B．e

C．2e

D．e2

答案

C 解析

f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e. 2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(

)

答案

D 解析

由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C. 又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 13．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是(

) 2A．14 m/s2

C．10 m/s2

答案

A 解析

由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，

a(t)＝v′(t)＝12t－g，

当t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14. ππ4．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sin x＋cos x，则f′()＝

. 24答案

－2 π解析

因为f(x)＝f′()sin x＋cos x，

2π所以f′(x)＝f′()cos x－sin x，

2ππππ所以f′()＝f′()cos－sin，

2222π即f′()＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x. 2f′(x)＝－cos x－sin x. πππ故f′()＝－cos－sin＝－2. 4445．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程是

．

答案

5x＋y＋2＝0 解析

因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，

所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0. B．4 m/s2

D．－4 m/s2

题型一

导数的计算

例1

求下列函数的导数．

1cos x(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝x；

xeπ(4)y＝sin(2x＋)；(5)y＝ln(2x－5)．

3解

(1)y′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′

＝2xsin x＋x2cos x. 11(2)y′＝(ln x＋)′＝(ln x)′＋()′

xx11＝－2. xxcos x(3)y′＝(x)′

ecos x′·ex－cos xex′＝

ex2sin x＋cos x＝－. exπ(4)设u＝2x＋，则y＝sin u，

3π则y′＝(sin u)′·u′＝cos(2x＋)·2 3π∴y′＝2cos(2x＋)．

3(5)令u＝2x－5，则y＝ln u，

则y′＝(ln u)′·u′＝2即y′＝. 2x－5思维升华

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．

(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于(

) A．e2

C．ln 2

B．1 D．e 12·2＝，

2x－52x－5

(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(

) A．－1

C．2

答案

(1)B

(2)B 1解析

(1)f′(x)＝2 016＋ln x＋x×＝2 017＋ln x，故由f′(x0)＝2 017，得2 017＋ln x0＝2 017，x则ln x0＝0，解得x0＝1. (2)f′(x)＝4ax3＋2bx，

∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，

∴f′(－1)＝－2. 题型二

导数的几何意义

命题点1

求切线方程

例2

(1)(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是

．

(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(

) A．x＋y－1＝0

C．x＋y＋1＝0

答案

(1)2x＋y＋1＝0

(2)B 1解析

(1)设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－x3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0. (2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，

∴设切点为(x0，y0)．

y0＝x0ln x0，又∵f′(x)＝1＋ln x，∴

y0＋1＝1＋ln x0x0，B．－2 D．0 B．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0

解得x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B. 命题点2

求参数的值

例3

(1)(2016·泉州模拟)函数y＝ex的切线方程为y＝mx，则m＝

. 17(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图22象的切点为(1，f(1))，则m等于(

) A．－1

B．－3

C．－4

D．－2

答案

(1)e

(2)D 解析

(1)设切点坐标为P(x0，y0)，由y′＝ex，

得y|x＝x0＝e0，

从而切线方程为y－e0＝e0(x－x0)，

又切线过定点(0,0)，从而－e0＝e0(－x0)，

解得x0＝1，则m＝e. 1(2)∵f′(x)＝，

x∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1. 又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1. g′(x)＝x＋m，

设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，

17则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x20＋mx0＋，m<0，

22于是解得m＝－2.故选D. 命题点3

导数与函数图象的关系

例4

如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(

) xxxxx

答案

D 解析

函数的定义域为[0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的且图象是下凸的；

当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的且图象是上凸的；

当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．

思维升华

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. y1＝fx1，(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．

y0－y1＝f′x1x0－x1

(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．

x21

(1)(2017·郑州月考)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐42标为(

) 1A．3

B．2

C．1

D.

21＋cos xπ(2)(2016·昆明模拟)设曲线y＝在点(，1)处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数sin x2a等于(

) 1A．－1

B.

C．－2

D．2 2答案

(1)A

(2)A 解析

(1)设切点的横坐标为x0，

x21∵曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，

42x3x031∴y′＝－，即－＝，

2x2x02解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，

即切点的横坐标为3. －1－cos x(2)∵y′＝，y|π＝－1.

sin2xx＝21由条件知＝－1，∴a＝－1. a

3．求曲线的切线方程

典例

若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．

错解展示

现场纠错

解

易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．

(1)当O(0,0)是切点时，

由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，

即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x. y＝2x，由得x2－2x＋a＝0，

2y＝x＋a，

依题意Δ＝4－4a＝0，得a＝1. (2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，

22则y0＝x30－3x0＋2x0，k＝y|x＝x＝3x0－6x0＋2，①

0y0又k＝＝x2－3x0＋2，②

x0031联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，

241故直线l的方程为y＝－x. 41y＝－4x，1由得x2＋x＋a＝0，

4y＝x2＋a，11依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝. 16641综上，a＝1或a＝. 64纠错心得

求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.

1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(

) A．2

B．0

C．－2

D．－4 答案

D 解析

f′(x)＝2f′(1)＋2x，

令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，

所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4. 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的3时刻是(

) A．1秒

C．4秒末

答案

D 解析

s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义知v＝s′(t)，

令s′(t)＝0，得t＝2或4，

即2秒末和4秒末的速度为零．

3．若直线y＝x是曲线y＝x3－3x2＋px的切线，则实数p的值为(

) 1313A．1

B．2

C.

D．1或

44答案

D 解析

∵y′＝3x2－6x＋p，设切点为P(x0，y0)，

23x0－6x0＋p＝1，∴3

2x－3x＋px＝x，0000B．1秒末和2秒末

D．2秒末和4秒末

x0＝0，解得或p＝1

13p＝4.3x0＝，2

4.(2017·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于(

)

A．－1

B．0

C．2

D．4

答案

B 11解析

由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－. 33∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，

又由题图可知f(3)＝1，

1∴g′(3)＝1＋3×(－)＝0. 35．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(

) 11A．e

B．－e

C.

D．－

ee答案

C 1解析

y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，

x设切点为(x0，ln x0)，则y|x＝x0＝1切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，

x0因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，

1解得x0＝e，故此切线的斜率为. e16．已知函数f(x)＝x＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实4数a的值为(

) 11A.

B.

C．1

D．4 42答案

A 1，

x011a解析

由题意可知f(x)x2,g′(x)＝，

x21a111由f′()＝g′()，得×()2＝，

44214411可得a＝，经检验，a＝满足题意．

447．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝

. 答案

1 解析

f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2. 所以函数在(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．

将(2,7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝1＋3a，

1

解得a＝1. 8．(2016·邯郸模拟)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于

．

答案

1

2ln 211解析

y′＝，∴k＝，

xln 2ln 21∴切线方程为y＝(x－1)．

ln 2111∴三角形面积S＝×1×＝. 2ln 22ln 219．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是

．

2答案

[2，＋∞) 1解析

∵f(x)＝x2－ax＋ln x，定义域为(0，＋∞)，

21∴f′(x)＝x－a＋. x∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，

11即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2. xx

*10.已知曲线f(x)＝xn1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴＋交点的横坐标为xn，则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015的值为

．

答案

－1 解析

f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，

点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，

1nn令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，

n＋1n＋1n＋1∴x1·x2·…·x2 015

1232 0142 0151＝×××…××＝，

2342 0152 0162 016则log2 016x1＋log2 016x2＋…＋log2 016x2 015

＝log2 016(x1x2…x2 015)＝－1. 1411．已知曲线y＝x3＋. 33(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．

14解

(1)∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，y′＝x2，

33

∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0. 1414(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x30＋)，则切线的斜率为y|x＝x＝03333x20. 142∴切线方程为y－(x30＋)＝x0(x－x0)，

3324即y＝x2x－x30·0＋. 33234∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－x0＋，

332即x30－3x0＋4＝0，

32∴x0＋x20－4x0＋4＝0，

2∴x0(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，

∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，

解得x0＝－1或x0＝2，

故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 112．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C. 3(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

解

(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，

则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，

则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，

k≥－1，1

－≥－1，k解得－1≤k＜0或k≥1，

故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，

得x∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．

b

*13.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. x(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

7(1)解

方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3. 41b当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋2，

2x于是b7a＋4＝4，b12a－＝，22

a＝1，3

解得故f(x)＝x－. xb＝3.

3(2)证明

设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋2，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

x31＋2(x－x0)，

y－y0＝x033x0－＝1＋2(x－x0)．

即y－xx006令x＝0，得y＝－，

x060，－. 从而得切线与直线x＝0的交点坐标为x0令y＝x，得y＝x＝2x0，

从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

61－|2x0|＝6. 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝2x0故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.