1.1.3 四种命题间的相互关系教学实录与评析

1.1.3 四种命题间的相互关系 一、【学习目标】

1.明确四种命题的相互关系.（重点） 2.能够判断四种命题的真假.（难点）

3.利用互为逆否命题同真假完成间接证明命题的成立. 三、【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

1．教师提出问题：

路边苦李

古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的,我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃. 小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”

王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”

（二）、研探新知

探究点1 四种命题之间的关系

四种命题形式: 原命题, 逆命题, 否命题,逆否命题

提示：四种命题形式: 原命题: 若

p ,

则

q

逆命题:若

q ,

则

p 否命题: 若┐p ,

则┐q 逆否命题:若┐q ,

则┐p 符号“￢”叫做否定符号．“￢p”读作“非p”，表示p的否定，即不是p

观察与思考

1.

若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

2.

若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

3.

若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

4.

若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 你能说出其中任意两个命题之间的关系吗? 解答：四种命题之间的关系

【即时训练】

若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的(

)．

A．原命题

B．逆命题

C．否命题

D．逆否命题

四种命题的真假有什么联系？

探究点2

四种命题的真假

看下面的例子：（判断真假）

（1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0.

（真）

逆命题：若x2-5x+6=0,

则x=2或x=3.

（真）

否命题：若x≠2且x≠3,

则x2-5x+6≠0.

（真）

逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3.

（真）

（2）原命题：若a > b,

则

ac2>bc2. （假）

逆命题：若ac2>bc2,则a>b.

（真）

否命题：若a≤b,则ac2≤bc2.

（真）

逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b.

（假）

提示：一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:

【提升总结】

（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真. 但其逆命题、否命题不一定为真. （2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真. 但原命题、其逆否命题不一定为真. 由以上三例及总结我们能发现什么？

解：原命题与其逆否命题同真假. 原命题的逆命题与否命题同真假.(两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).

【即时训练】

判断下列说法是否正确. （1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；

（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. （3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假. （3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假.

【提升总结】因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题. 在数学的证明中，我们会常常用到一种

方法——反证法. 反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法. 注意：此处是命题的否定，要区别于否命题. 反证法的一般步骤：

（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立; 反设

（2）从这个假设出发 , 经过推理论证, 得出矛盾; 归谬

（3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确. 结论

四、【魅力精讲

举一反三】

例题：例1

设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题.并分别判断它们的真假. 分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留.原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”. 解析：

逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真）

否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. （真）

逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b. （真）

22例2 证明：若x+y=0，则x=y=0. 222 22 证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x＞0，所以x+y＞0，也就是说x+y≠0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.

例3 求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等. 证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题.

五、【跟踪训练】

1.设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况

是（

）

A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

答案：A 2.命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（

）

A．若q不正确，则p不正确

B．若q不正确，则p正确

C．若p正确，则q不正确

D．若p正确，则q正确

答案：D 3.设A是原命题，B、C、D分别是A的逆、否、逆否命题．从4个命题中任取两个命题，则这两个命题是等价命题的概率是（

）

A．14

B．16

C．13

D．

12

答案：C

六、【学以致用

能力提升】

1、必做题： 2、选做题： 七、【课堂小结】

八、【教学反思】