2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学设计实例

全国卷中《有关球的问题》探究

成都十七中 数学组 王军

【知识储备】

(一)正方体与球的组合(其中a为正方体的棱长，R为球的半径）

(1)正方体的内切球：a2R

(2)球的内接正方体:3a2R

(3)球与正方体的各条棱相切:2a2R

A1B1ODABCD1C1NOM

（二）长方体（正四棱柱、直四棱柱）与球的组合：a2b2c22R（体对角线等于球的直径）

（三）三棱锥与球的组合：

（1）球的内接正四面体：结论有R3r径、内切球半径、底面边长、高）

（2）球的内接正三棱锥：结论有R63ah（其中R,r,a,h分别表示外接球半44b2（其中R外接球半径，底边长为a，侧12b2a23棱长为b）

PCbOaACMBQcPbaAOB

222（3）球的内接直角三棱锥PABC：结论有2Rabc（其中R外半，a,b,c为两两相互垂直的棱长）

（4）球的内接一般三棱锥：先抓球心的位置，再去建立球的半径的方程。

（四）圆柱、圆锥、圆台与球的组合：相当于圆中的内接矩形、内接等腰三角形、内接等腰梯形

1

O1OO2OO2O1OO2

OOO

【考题赏析】

（10年新课标卷理科10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ B ）

A.a2

B.a2

73 C.112a

D.5a2

3A1aAC1O1OMB10理科10B1CO3MA10理科163NPB（10年全国卷2理科16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB4．若OMON3，则两圆圆心的距离MN3．

（11年全国卷11）已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成600二面角的平面截该球面得圆N.若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为（ D ）

A.7

B.9

C.11

D.13

OND4OM2PQAO1611理科152 CB

11理科11

（11年新课标15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,

BC23,则棱锥OABCD的体积为83

（12年新课标卷理科11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2,则此棱锥的体积为（ A ）

(A)2322

(B)(C)(D)6 6 3 2S2OBCMA12理科111

（13年新课标理科6）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ A ）

A.500π866π1372π2048π3cm3 B.cm3cm3 D.cm

C.3333 O

13理科6

(14年大纲卷8)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ A ）

A.8127B.16 C.9 D.

44 3

15理科9

（15年新课标理科9）已知A,B是球O的球面上两点，AOB90,C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( C ) A．36 B. 64 C. 144 D. 256

(16全国卷3第10题) 在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若

0ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是( B ) 932A.4 B.

C.6 D.

23【规律探究】

【找哈感觉】

1.圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?

2.一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图面积

分别是3,4,6，由这个几何体外接球表面积为-------29------

3.（15河北）在四面体SABC中，SA平面ABC,BAC1200,SAAC2,AB1，则该四面体的外接球的表面积为（ D ）

A.11 B.7 C.

4.已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且ABAC1,BC3，1040 D.

33205，则这个直三棱柱的体积等于（ B ）

3A.2 B.3 C.2 D.5

若球O的体积为

5.已知球的直径SC4,A,B是该球球面上的两点，AB3,ASCBSC300,则棱锥SABC的体积为（ C ）

4

A.33 B.23 C.3 D.1

6.已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD3，若A,B,C,D,E在同一球面上，则此球的体积为（ D ）

3822A.2 B. C.2 D.

33的余弦值为

7.已知球的直径PQ4,A,B,C是球O球面上的三点，APQBPQCPQ300, ABC是正三角形，则三棱锥PABC的体积为（ A ）

93A. B.33 C.53 D.63

4

5