3.1.1 空间向量及其加减运算第二课时教案

空间向量及其加减运算

【教学目标】

1．掌握向量加法的定义

2．会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量

3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算 【教学重点】

用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量。

【教学难点】

向量的加法和减法的定义的理解

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、复习引入：

1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

2．向量的表示方法：

（1）用有向线段表示；

（2）用字母ａ、ｂ等表示；

（3）用有向线段的起点与终点字母：AB；

（4）向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|。 3．零向量、单位向量概念：

（1）长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的

（2）长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。

4．平行向量定义：

（1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

（2）我们规定0与任一向量平行。向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。

5．相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

（1）向量a与b相等，记作a＝b；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

6．共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。

（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。

7．对向量概念的理解

AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向。向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘。

向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。

二、讲解新课：

1．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。

如图，已知向量a、b在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a与b的和，记作ab，即abABBCAC。

Caa+bbBDbab三角形法则Aa平行四边形法则a+bC特殊情况：B

(1)A

abababab

BAB(2)CCA(3)

对于零向量与任一向量a，有a00aa

探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；

（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|；

（3）当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|；

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加。

2．向量加法的交换律：a+b=b+a

3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 证：如图：使ABa，

BCb，

CDc

则(a+b) +c=ACCDAD

a+ (b+c) =ABBDAD

∴(a+b) +c=a+ (b+c) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。

三、讲解范例：

【例1】如图，一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示)。

解：设AD表示船垂直于对岸行驶的速度，AB表示水流的速度，以AD，AB在RtABC中，|AB|2，|BC|23

所以|AC||AB|2|BC|24

为邻边作平行四边形ABCD，则AC就是船的实际航行的速度。

因为tanCAB2323CAB60

答：船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流速间的夹角为60。

四、课堂练习：

1．一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h，求水流的速度。

2．一艘船距对岸43km，以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船3．一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船的的实际航程为8km，求河水的流速。

实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是60，求v1和v2。

4．一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最km/h，最小是km/h。

大是五、小结

1．向量加法的几何法则；

2．交换律和结合律；

3．注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号

1．已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N六、课后作业：

求F1和F2的大小

2．用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。