习题2.2教案3

开平一中2018-2019学年第二学期高二数学3月份考试试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人

得分

一、单选题

1．已知函数f(x)=的最大值为（ ）

A． B． C． D．，若对于，，使得f()=g()，则

2．平面上动点与定点的距离和到直线的距离的比为，则动点的轨迹的标准方程为（ ）

A．3．已知函数A．C． B． C．，若函数的图象在 D．

的极大值是（ ）

处切线的斜率为，则 B． D．

4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，化简得点A．C．5．已知函数A．

B．，且法向量为 B． D．，则满足

C．，且法向量为的直线（点法式）方程为：.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过的平面的方程为（

）

的的取值范围是（ ）

D．

6．欧拉公式

为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的- 1 -

定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．设的实部与虚部相等，其中为实数，则

A．-1 B．-2 C．1 D．2 8．已知函数A． B．的图象上有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）

C． D．

9．若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．方程表示的曲线是

A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆

11．已知双曲线：，，为左，右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右焦点，则直线的斜率为（ ）

C．

D．

交于，两点，且点在轴上方，若A．

B．

12．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )

A．C．

评卷人

B．D．

得分

二、填空题

- 2 -

13．已知函数__________．

14．已知抛物线点．若以若函数有3个零点，则实数的取值范围是的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于的值为________．

两为直径的圆过点，则15．椭圆16．设曲线

评卷人

的离心率等于，则椭圆的标准方程为____ 在点处的切线与直线垂直，则 __________．

得分

三、解答题

17．已知关于的方程有实数根，求实数的值．

18．已知函数（1）当（2）当19．已知函数若曲线若，在点对时，求的单调区间；

时，的图象恒在．

处的切线与x轴平行，且的图象上方，求a的取值范围. ，求a，b的值；

恒成立，求b的取值范围．

20．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了各个城市的大街小巷．为了解共享单车在市的使用情况，某调研机构在该市随机抽取了查，得到的列联表（单位：人）

位市民进行调

- 3 -

（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过龄有关？(结果保留3位小数）

的前提下认为使用共享单车的情况与年（2）现从所抽取的岁以上的市民中利用分层抽样的方法再抽取5人

（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；

（ii）从这5人中，再随机抽取2人赠送一件礼物，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率. 参考公式及数据：，．

21．设函数（1）当时，求，其中为自然对数的底数．

在点，使处的切线的斜率；

，求正数的取值范围．

（2）若存在22．根据下列条件求双曲线的标准方程. （1）

经过点,焦点在轴上; （2）与双曲线23．已知函数（1）讨论（2）对有相同的焦点,且经过点. . 的单调性；

时，对任意，参考答案

恒成立，求的取值范围. 1．D 【解析】

【分析】

不妨设f()=g()＝a，从而可得【详解】

不妨设f()=g()＝a，

- 4 - 的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可．

∴＝a，

∴＝ln(a+e)，＝，

故＝ln(a+e)-，（a＞-e）

令h（a）＝ln(a+e)-，

h′（a），

易知h′（a）在（-e，+∞）上是减函数，

且h′（0）＝0，

故h（a）在a处有最大值，

即的最大值为；

故选：D．

【点睛】

本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题．2．D 【解析】

【分析】

由题意得到关于x,y的等式，整理变形即可确定动点的轨迹的标准方程. 【详解】

由题意可得：，

整理变形可得：. 本题选择D选项. 【点睛】

本题主要考查轨迹方程的求解，属于基础题. 3．A 【解析】

【分析】

- 5 -

由函数的图象在=处切线的斜率为，得. ，从而得m=0，进而得f（x）的单调性，即可得极大值【详解】

因为函数，所以所以函数故选：A. 【点睛】

，所以

，由函数=3e，所以m=0. 即的图象在处切线的斜率为

，=. =0的根-2,0，因为递增，所以函数的极大值

递增，在

递减，在本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判断函数的单调性是关键，属于中档题. 4．A 【解析】

【分析】

类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则﹣3），利用平面法向量为【详解】

类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则﹣3）

∵平面法向量为（﹣1，﹣2，1），

（x﹣1，y﹣2，z（﹣1，﹣2，1），即可求得结论．

（x﹣1，y﹣2，z∴﹣（x﹣1）﹣2×（y﹣2）+1×（z﹣3）＝0 ∴x+2y﹣z﹣2＝0，

故选：A．

【点睛】

本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．

5．B

- 6 -

【解析】

【分析】

构造g（x）＝f（x）-（e+e﹣1），利用导数研究其单调性即可得出．

【详解】

函数f（x）＝ex﹣1+e1﹣x，令g（x）＝＝ex﹣1+e1﹣x﹣（e+e），

﹣1g′（x）＝ex﹣1-e1﹣x，令g′（x）＝0，解得x＝1．

可得：函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增．

g（x）min＝g（1）＝2﹣（e+e﹣1）＜0，

又g（0）＝g（2）＝0．

∴0＜x＜2．

故选：B．

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

6．B 【解析】

【分析】

由欧拉公式【详解】

解：由欧拉公式，可得=cos2+isin2，

,可得=cos2+isin2，表示的复数在复平面中的象限. 此复数在复平面中对应的点为（cos2，sin2），易得cos2＜0，sin2＞0，

可得此点位于第二象限，

故选B. 【点睛】

本题主要考查复数几何意义的应用，灵活运用所给条件求解是解题的关键. 7．A 【解析】

【分析】

利用复数的乘法运算化简题目所给表达式，根据实部和虚部相等列方程，求得的值. 【详解】

- 7 -

依题意，解得【点睛】

，故选A. ，由于该复数的实部和虚部相等，故本小题主要考查复数的运算，考查复数实部和虚部的概念，考查方程的思想，属于基础题. 8．D 【解析】

【分析】

由函数的图象上有两对关于轴对称的点，转化为与在上有两个交点，根据导数的几何意义，确定切线的斜率，再结合函数的图象，即可求解. 【详解】

由题意，当因为函数可转化为设由又由当与，则时，，即，则与时，，则关于轴的对称的函数解析式为的图象上有两对关于轴对称的点，

在相切于点，所以………(2)

，

，即，故选D. ，且上有两个交点，

，

，即，……..(1)

，

由(1)(2)联立解得又由，且结合图象可知，满足【点睛】

本题主要考查了函数的对称性问题的应用，其中解答中把函数的点，转化为与在的图象上有两对关于轴对称上有两个交点，根据导数的几何意义，再结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于

- 8 -

中档试题. 9．C 【解析】

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．

【详解】

，

向量，是非零向量，“故选：C．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．

10．D 【解析】

【分析】

方程【详解】

方程等价于，

等价于，即可得出结论．

，夹角为

”是“，夹角为”的充要条件．

表示的曲线是半个圆．

故选：D．

【点睛】

本题考查曲线与方程，考查圆的知识，属于基础题．

11．D 【解析】

【分析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.设直线l的方程x＝my+，m＞0，设，，即y1＝﹣3y2①，联立直线l与曲线C,得y1+y2＝-

②，y1y2＝③，求出m的值即可- 9 -

求出直线的斜率. 【详解】

双曲线C：，F1，F2为左、右焦点，则F2（，0），设直线l的方程x＝my+，m＞0，∵双曲线的渐近线方程为x＝±2y，∴m≠±2，

设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴由∴△＝（22，∴y1＝﹣3y2①

，得22

m）﹣4（m﹣4）＞0，即m+4＞0恒成立，

∴y1+y2＝②，y1y2＝③，

联立①②得，联立①③得，

，故选：D．

【点睛】

即：，，解得：，直线的斜率为，

本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．

12．C 【解析】

【分析】

结合题意可知【详解】

A选项,13不满足某个数的平方,故错误; B选项,C选项D选项,【点睛】

本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等. ,故错误; ,故正确; ,故错误.故选C. ,代入数据,即可.

- 10 -

13．

【解析】

【分析】

令象，当直线【详解】

令，求导时，，则，当在时，上单调递减，，则在在时，取得，对其求导并判断它的单调性，可以得到函数与函数的单调性，进而画出的图的图象有三个交点时，满足题意，求出即可。

上单调递增；当最大值为. 结合单调性，可以画出函数的图象(见下图)，

当时，函数有3个零点

【点睛】

已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解。

14．4 【解析】

【分析】

设直线方程,与抛物线方程联立，借助于求出点A，B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求

- 11 -

出|AF|﹣|BF|．

【详解】

解：假设k存在，设AB方程为：y＝k（x﹣1），

与抛物线y＝4x联立得k（x﹣2x+1）＝4x，

即kx﹣（2k+4）x+k＝0 设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），

∵以为直径的圆过点, 2222222∴∠QBA＝90°，

∴（x1﹣2）（x1+2）+y12＝0，

∴x12+y12＝4，

∴x1+4x1﹣1＝0（x1＞0），

∴x12，

2∵x1x2＝1，

∴x22，

∴|AF|﹣|BF|＝（x2+1）﹣（x1+1）＝4，

故答案为：4 【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

15．【解析】

【分析】

根据椭圆的基本概念，结合题意算出a＝3，c＝，，从而得到b＝6．再根据椭圆的焦点位置，即可确定此椭圆的标准方程．

【详解】

2∵椭圆的长轴为6，离心率是，焦点在x轴上，

- 12 -

∴2a＝6，e，解得a＝3，c＝，b＝a﹣c＝6，

222又椭圆的焦点在x轴上，其方程为；

故答案为【点睛】

．

本题考查了椭圆的性质的应用，属于基础题．

16．1 【解析】

【分析】

对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点(1,a)处的切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为-1即可得a值. 【详解】

，所以切线的斜率又切线与直线得故答案为：1 【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题. 17．或

，解得，

垂直

. 【解析】

【分析】

利用复数的运算法则、复数相等即可得出．

【详解】

设x＝是方程的实根，代入方程并整理得（由复数相等的条件得解得

k+2）+（2+k）i＝0．

k+2＝2+k＝0，

．

- 13 - ，或

∴方程的实根为x或x，

．

相应的k的值为k＝﹣2【点睛】

或k＝2本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

18．(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)【解析】

【分析】

（1）首先求出f（x）导数，分类讨论a来判断函数单调性；（2）利用转化思想 y＝f'（x）的图象恒在y＝ax+x﹣（a﹣1）x的图象上方，即xe﹣ax＞ax+x﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即 e﹣ax﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立，利用函数的单调性和最值即可得到a的范围. 【详解】

（1）f'（x）＝xe﹣ax＝x（e﹣a）

当a≤0时，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当0＜a≤1时，令f'（x）＝0得x＝0或x＝lna．

（i）

当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； （ii）

当a＝1时，lna＝0，f'（x）＝xe﹣ax＝x（e﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间； 综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；

当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；

当a＝1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．

（2）由（I）知f'（x）＝xe﹣ax 当x∈（0，+∞）时，y＝f'（x）的图象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；

即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；

即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立； xxxxxx232x32

- 14 -

记 g（x）＝e﹣ax﹣x﹣1（x＞0），

∴g'（x）＝ex﹣2ax﹣1＝h（x）；∴h'（x）＝ex﹣2a；

（i）

当时，h'（x）＝e﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，

xx2∴g'（x）＞g'（0）＝0；

∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；

∴g（x）＞g（0）＝0，符合题意； （ii）当时，令h'（x）＝0得x＝ln（2a）；

∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，

∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；

∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）＝0；

∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，

∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意； 综上可得a的取值范围是【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想与分类讨论思想，属中等题型．

19．（1）【解析】

【分析】

（1）对求导，，解方程组求出，即可。（2）将代入，利用参变分离可；（2）

．

以将问题转化为可。

【详解】

（1）由（2）因为，，得在

恒成立，求出的最小值，令即，，

，

，

等价于

，

- 15 -

令当当所以所以【点睛】

时，，，

，所以，所以，

在在上单调递减，

上单调递增，

时，. 本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题。

20．（1）能；（2）（i）经常使用人、偶尔或不用共享单车人；（ii）. 【解析】

【分析】

（1）计算k，与2.072比较大小得出结论，

（2）（i）根据分层抽样即可求出，

（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e，根据古典概率公式计算即可．

【详解】

2（1）由列联表可知，因为2.198＞2.072，

．

所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关．

（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有偶尔或不用共享单车的有（人）．

（人），

（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a，b，c；偶尔或不用共享单车的2人分别为d，e．

则从5人中选出2人的所有可能结果为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种．

其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为（d，e），共1种．

- 16 -

故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率【点睛】

独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成．

列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）

21．（1）【解析】

【分析】

（1）对求导，代入x=1即可得斜率. ，对a按，分类讨论得的单调性和最小值即可. ；（2）

（2）依题意得【详解】

解：（1）设所求切线的斜率为，当（2）依题意得①当而②当时， 时，在即

，在时，且递增，

，，所以

满足条件 递减 递增

综上【点睛】

本题考查了求切线的斜率和利用导数判断函数在区间上的单调性和最小值，也考查了分类讨论思想，属于中档题. 22．（1）【解析】

【分析】

；

（2）. (1)结合c的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数，即可。（2）结合已知双曲线，

- 17 -

设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可。

【详解】

（1）.线的焦点在轴上

∴设所求双曲线的方程为 ∵双曲线过点,∴

解得或 (舍去),故所求双曲线的标准方程为

（2）.所求双曲线与双曲线有相同的焦点, 可设所求双曲线的方程为

双曲线过点∴

解得或 (舍去),故所求双曲线的标准方程为

【点睛】

本道题考查了双曲线方程的求法，结合题意，设出双曲线方程，代入点坐标，计算参数，即可，属于较容易的题型。

23．（1）详见解析；（2）【解析】

【分析】

. (1) 函数到的定义域为，求出导函数，对a分类讨论，解不等式即可得的单调性；

，所以，由（1）可得的最值，进（2）因为而得到的取值范围. 【详解】

- 18 -

解：（1）函数当时，，当时，，（2）因为的定义域为，，所以，，所以，所以在，所以在，在上单调递减；

，

上单调递增. 在上单调递减；

上单调递增. ，所以，

由（1）知，因为设则所以从而所以设当又因为时，在与在上单调递减，在，所以，

，

上单调递增，所以. . 上单调递增，故，

，即，则，所以在等价于. . ，

，所以，

上单调递增，

，则. ，所以，所以的取值范围为【点睛】

利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

- 19 -

- 20 -