1.2.1 充分条件与必要条件教学设计及课堂实录

第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

[考纲传真]

(教师用书独具)1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

[基础知识填充]

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

图1-2-1

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(3)如果pDq，且qD p，则p是q的既不充分也不必要条件．

[知识拓展]

1．充分条件、必要条件的两个结论

(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；

1

(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．

2．充分条件、必要条件与集合的关系

p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B

p是q的充分条件

p是q的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(

) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(

) [解析]

(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．

(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．

(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．

(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．

[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

A⊆B

B⊆A

AB

BA

A＝B

π2．(教材改编)命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是(

)

πA．若α≠4，则tan α≠1 πB．若α＝4，则tan α≠1 πC．若tan α≠1，则α≠4

πD．若tan α≠1，则α＝4

C

[“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则

綈p”，显然綈q：tan α≠1，ππ綈p：α≠4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4”．]

2

3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

)

A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

A

[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B．

但A⊆B时，a＝2或3.

∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．] 4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(

)

A．1

C．3

【导学号：79170004】

B．2

D．4 B

[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．

因此4个命题中有2个假命题．] 5．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(

)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B

[∵2－x≥0，∴x≤2.

∵|x－1|≤1，∴0≤x≤2.

∵当x≤2时不一定有x≥0，当0≤x≤2时一定有x≤2，

∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．

故选B．]

(对应学生用书第3页)

四种命题的关系及其真假判断

(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(

)

A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题

B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题

3

D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题

(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

)

A．真，假，真

C．真，真，假

B．假，假，真

D．假，假，假

(1)C

(2)B

[(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．

(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．

当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．]

[规律方法]

1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．

2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．

3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．

[变式训练1]

(1)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(

)

A．不拥有的人们会幸福

B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福

D．不拥有的人们不幸福

(2)原命题为“若an＋an＋1*＜an，n∈N，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、2否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

)

A．真，真，真

C．真，真，假

B．假，假，真

D．假，假，假

(1)D

(2)A

[(1)等价命题即为逆否命题，故选D．

4

(2)由an＋an＋1＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an. 2an＋an＋1

所以当＜an时，必有an＋1＜an，

2

则{an}是递减数列．

反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，

从而有an＋an＋1＜an. 2

所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]

充分条件与必要条件的判断

(1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”n<0”的(

) 是“m·

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)A

(2)A

[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.

设m与n的夹角为θ.

若存在负数λ，使得m＝λn，

则m与n反向共线，θ＝180°，

∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.

当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．

故选A．

法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.

5

∴当λ<0，n≠0时，m·n<0. π

反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈2，π，

π

当〈m，n〉∈2，π时，m，n不共线．



故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．

故选A．

(2)|x－2|＜1⇔1＜x＜3.

由于{x|1＜x＜2}是{x|1＜x＜3}的真子集，

所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分不必要条件．]

[规律方法]

充分条件、必要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

xe，x≥－1，[变式训练2]

(1)(2018·九江十校联考)已知函数f(x)＝则“xln－x，x＜－1，

＝0”是“f(x)＝1”的(

)

【导学号：79170005】

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2018·东北三省四市联考)设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的

(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)B

(2)A

[(1)若x＝0，则f(x)＝1，

若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.

6

故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件，故选B．

(2)a＞|b|能推出a＞b，进而得a3＞b3；当a3＞b3时，有a＞b，但若b＜a＜0，则a＞|b|不成立，所以“a＞|b|”是“a3＞b3”的充分不必要条件，故选A．]

充分条件、必要条件的应用

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

[解]

由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，

1－m≥－2，∴1＋m≤10，1－m≤1＋m，

∴0≤m≤3.

综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．

[母题探究1]

本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

[解]

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，

∴

1＋m＝10，m＝3，

∴

m＝9，

这样的m不存在．

[母题探究2]

本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

[解]

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P是S的充分不必要条件，

∴P⇒S且SD

∴[－2,10]P，

[1－m,1＋m]，

7

1－m≤－2，1－m＜－2，

∴或

1＋m＞101＋m≥10，

∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．

[规律方法]

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

[变式训练3]

(1)(2017·长沙模拟)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________．

(1)(0,3)

(2)a≤0或a＝1

[(1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

a>0，

∴解得0

(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，

1

∴原方程有一个负实根x＝－2.

当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根．

∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根．当方程有一正一负根时，则x1x2＜0，

1

∴＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0；

a

当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1，符合题意．

综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤0或a＝1.]

8