1.2.1 充分条件与必要条件ppt配套的板书设计及意图

课题：充分条件与必要条件

重点、难点1.充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立. 2.必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件. 3.以下几种说法是等价的:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q. 【做一做1】

用“充分条件”和“必要条件”填空: (1)“a>0,b>0”是“a+b>0”的

. (2)“tan θ=1”是“ ”的

. (3)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的

. 答案:(1)充分条件

(2)必要条件

(3)充分条件 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)如果p是q的充分条件,那么命题“若p,则q”不一定为真. (

) (2)如果p是q的充分条件,那么q就是p的必要条件.

(

)

(3)如果p是q的必要条件,那么p是唯一的. (

) (4)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

(

) (5)如果p是q的充要条件,那么命题p和q是两个相互等价的命题. (

) 答案:(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)√

充分条件、必要条件、充要条件的判断 反思感悟充分条件、必要条件的两种基本判断方法: (1)定义法 ①确定条件和结论; ②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则为充分条件,否则就不是充分条件; ③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则为必要条件,否则就不是必要条件. (2)命题判断法 ①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件; ②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件. 变式训练1用“充分不必要”、“ 必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空: (1)“x=4”是“x=-2”的

条件; 2

(2)“函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数”是“θ=kπ(k∈Z)”的

条件; (3)“a>b”是“ ”的

条件; (4)“lg(x-y)>0”是“x-y>0”的

条件. 充要条件的证明 【例2】

设a,b,c分别为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°. 思路点拨:第一步,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“A=90°”,结论是“方程x+2ax+b=0与x+2cx-b=0有公共根”;第二步,根据要求确定解题步骤,分别证明“充分性”与“必要性”,先证充分性:“条件⇒结论”;再证必要性:“结论⇒条件”. 自主解答:(1)证明充分性: 因为A=90°,所以a=b+c,方程x+2ax+b=0可化为222222222x2+2ax+a2-c2=0, 即(x+a+c)(x+a-c)=0,所以两根分别为x1=-a-c,x2=-a+c. 同理x+2cx-b=0可化为x+2ax-a+c=0, 即(x+a+c)(x+c-a)=0,所以两根分别为x3=-a-c,x4=a-c. 故两个方程有公共根-a-c. (2)证明必要性: 22222

设两个方程有公共根α,则α+2aα+b=0,α+2cα-b=0,显然α≠0. 两式相加得α+2α(a+c)=0. 所以α=-(a+c). 代入x+2ax+b=0可得a=b+c,所以A=90°. 综上所述:方程x+2ax+b=0与x+2cx-b=0有公共根的充要条件是A=90°. 反思感悟充要条件的证明策略 (1)要证明p为q的充要条件(q的充要条件为p),需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真,但证明过程中需注意不要混淆条件和结论. (2)也可以用集合的思想来证明,即证明p与q的解集是相同的,但证明前必须辨别清楚充分性和必要性. 变式训练2在△ABC中,求证A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°. 证明:(1)充分性: 在△ABC中,A+B+C=180°. 22222222222222∵B=60°,∴A+C=120°,∴A+C=2B. ∴A,B,C成等差数列. (2)必要性: ∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B.

又A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°. 故A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°. 习题：考虑不周致误 【典例】

“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 易错分析:本题常见的错解有两个,一个是由于对充分条件、必要条件的定义理解不透,导致判断结论错误;另一个是由于对问题中的相关数学知识“截距”、“斜率”等概念理解不深,考虑不全面导致判断结果出错,这是主要错误所在. 自主解答:若直线l的斜率等于-2,则直线l在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的2倍;但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时,其斜率不一定等于-2.因为直线l可以经过原点,其斜率可以为任意值.所以“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的必要不充分条件.故选B. 答案:B 纠错心得:本题以直线的斜率和截距等概念为载体考查了充分条件与必要条件的推理判断.解题关键是正确理解直

线在坐标轴上的截距的概念,同时又要对零截距的直线有所认识,当直线经过原点时,它在两坐标轴上的截距均为零,这时可以认为直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,所以在进行充分条件与必要条件的推理判断时,一定考虑周全,避免出错. 1.对于函数f(x)=ax+bx+c(a≠0),下列结论正确的是

(

) 2①Δ=b2-4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件; ②Δ=b2-4ac=0是函数f(x)有零点的充分条件; ③Δ=b2-4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件; ④Δ=b2-4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件. A.①③④

B.①②③

C.①②③④ D.①②④ .求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.