第四章 圆与方程（通用）优秀教案板书设计

课题

圆的方程

【教学目标】

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．

2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

【重点难点】

教学重点：掌握确定圆的几何要素及圆的标准方程与一般方程；

教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；

【教学策略与方法】

讲授法、师生互动法

【教学过程】

知识回顾: 1．圆的定义及方程

定义

标准方程

平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0) 圆心(a，b)，半径r

ED－，－圆心，

221半径2D2＋E2－4F 一般方程

2.点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 学情自测: 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(

) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(

) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

) 2(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y0＋Dx0＋Ey0＋

1

F>0.(

) [答案]

(1)√

(2)×

(3)√

(4)√

2．(教材改编)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(

) 2A．a＜－2或a＞3

C．－2＜a＜0

2B.－3＜a＜0 2D.－2＜a＜3

2D

[由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，解得－2＜a＜3.] 3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(

) 43A．－3

B.－4 C.3

D.2 A

[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|4＝1，解得a＝－3.] a2＋14．(2017·西安质检)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．

x2＋(y－1)2＝1

[两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等，则圆C的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1.] x2y25．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，164则该圆的标准方程为________．

x－32＋y2＝25

[由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，24右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设m＋4＝r，圆的标准方程为(x－m)＋y＝r(00)，则224－m＝r，22222

3m＝，2解得25r＝4，2

所32225以圆的标准方程为x－＋y＝.] 42

2

典题讲解: 考点一:圆的方程

例1:

(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(

) 521254A.3

B.3 C.3

D.3

(2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C45上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为5，则圆C的方程为________．

(1)B

(2)(x－2)2＋y2＝9

[(1)法一：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|223＝3|AD|＝3，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝4211＋3＝3，故选B.

法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则3＋3E＋F＝0，7＋2D＋3E＋F＝0，1＋D＋F＝0，

D＝－2，43解得E＝－3，F＝1.

23. 所以△ABC外接圆的圆心为1，3因此圆心到原点的距离d＝21232＝12＋3. 3(2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，

所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝解得a＝2，

所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，

2a45＝5，

5

3

所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.] [变式训练1]

(2017·河南百校联盟联考)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．

x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)

[法一

∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，

∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．

1易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－2(x－4)．

2a－b－3＝0，设所求圆的圆心为C(a，b)，则有1b＝－2a－4，因此圆心坐标C(2,1)，半径r＝|AC|＝10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二

设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

25＋4＋5D＋2E＋F＝0，9＋4＋3D－2E＋F＝0，则DE－＋－3＝0，2×22

解得a＝2，且b＝1.

解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，

∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.] 考点二:与圆有关的最值问题

例2:已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)求y－3的最大值和最小值．

x＋2[解]

(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，

可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，

∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝22.又|QC|＝2＋22＋7－32＝42，

∴|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22. (2)可知y－3表示直线MQ的斜率k. x＋2

4

设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C|2k－7＋2k＋3|有交点，所以≤22，

1＋k2可得2－3≤k≤2＋3，

∴y－3的最大值为2＋3，最小值为2－3. x＋2[迁移探究1]

(变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．

[解]

设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，

∴|2－7＋b|22＝22，∴b＝9或b＝1. 1＋－1因此y－x的最大值为9，最小值为1. [迁移探究2]

(变换条件结论)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．

[解]

∵圆心C(2,7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0的距离，

|2×3＋7×4＋1|∴|QC|min＝d＝＝7.又圆C的半径r＝22，

32＋42∴|MQ|的最小值为7－22. 小结: 1．求圆的方程基本方法：（1）直接法，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．（2）待定系数法求圆的方程。

2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．

布置作业:课时分层训练（四十七）

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