1.4.1 全称量词优质课一等奖

1.4

全称量词与存在量词

预习课本P21～25，思考并完成以下问题

1．全称量词、全称命题的定义是什么？

2．存在量词、特称命题的定义是什么？

3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题? 一、新课教学：

1．全称量词与全称命题

全称量词

符号

全称命题

形式

2．存在量词与特称命题

存在量词

符号表示

特称命题

形式

所有的、任意一个、一切、每一个、任给

__∀__ 含有全称量词的命题

“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”

存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

__∃__ 含有存在量词的命题

“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”

3．全称命题与特称命题的否定

知识点

全称命题的否定

特称命题的否定

注意：

(1)全称命题的否定

全称命题的否定是一个特称命题，否定全称命题时关键是找出全称量词，明确命题所提供的性质．

(2)特称命题的否定

特称命题的否定是一个全称命题，否定特称命题时关键是找出存在量词，明确命题所提供的性质．

二、课堂练习：

原命题

p：∀x∈M，p(x)

命题的否定

綈p：∃x0∈M，綈p(x0) p：∃x0∈M，p(x0)

綈p：∀x∈M，綈p(x)

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略(

) (2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题(

) (3)“三角形内角和是180°”是全称命题(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(

) A．∀x∈R，|x|＋x2<0

C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 答案：C 3．下列全称命题为真命题的是(

) A．所有的质数是奇数

B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数x，x2也是无理数

D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案：B 4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________. 答案：特称命题

假

∀x∈R，x2＋2x＋5≥0 三、举例：

例1：

判断下列语句是全称命题，还是特称命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

(4)矩形的对角线不相等；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

[解]

(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

总结：判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0

[注意]

全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．

例2：用全称量词或存在量词表示下列语句：

(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；

11(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；

32(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；

(4)方程3x－2y＝10有整数解．

解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．

11(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．

32(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．

(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立. 例3：

(1)下列命题中的假命题是(

) A．∃x0∈R，lg x0＝0

C．∀x∈R，x2>0 (2)下列命题中的真命题是(

) A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数

B．∃α0，β0∈R，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0

C．向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为2 D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件

[解析]

(1)对于A，x＝1时，lg x＝0；

对于B，x＝kπ＋π(k∈Z)时，tan x＝1；

4

B．∃x0∈R，tan x0＝1

D．∀x∈R，ex>0 对于C，当x＝0时，x2＝0，所以C中命题为假命题；

对于D，ex>0恒成立．

π(2)对于A，当φ＝时，f(x)＝cos 2x，为偶函数，故A为假命题；

2对于B，令α0＝＝πππ2，β0＝－，则cos(α0＋β0)＝cos－＝，cos α0＋cos β0424222＋0＝，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B为真命题；

22

a·b－2＋0对于C，向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则a在b方向上的投影为＝＝－2，故|b|1C为假命题；

对于D，|x|≤1，即－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，则|x|≤1不一定成立，所以“|x|≤1”为“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题．

[答案]

(1)C

(2)B 总结：

全称命题与特称命题的真假判断的技巧

(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．

(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．

课堂练习：

指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假．

(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0. (2)对任意实数x1，x2，若x1

(4)∃x0∈R，使x20＋1<0. 解：(1)是全称命题．

∵ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．

(2)是全称命题．

存在x1＝0，x2＝π，x1

∴命题(2)是假命题．

(3)是特称命题．

由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，

∴命题(3)是假命题．

(4)是特称命题．

对任意x∈R，x2＋1>0，∴命题(4)是假命题. 例4：

(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(

) A．∀n∈N，n2>2n

C．∀n∈N，n2≤2n

B．∃n∈N，n2≤2n

D．∃n∈N，n2＝2n

(2)(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(

) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

[解析]

(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C. (2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．

[答案]

(1)C

(2)D 总结：

全称命题与特称命题的否定的思路

(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，

同时否定结论．

(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．

课堂练习：

判断下列命题的真假，并写出它们的否定．

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形．

解：(1)三角形的内角和为180°，是全称命题，是真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°. (2)每个二次函数的图象都开口向下，是全称命题，是假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．

(3)存在一个四边形不是平行四边形，是特称命题，是真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形. 例5：

若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．

[解]

法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)，

令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，

所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，

而∀x∈[－1，＋∞)，

22－a，a≥－1，f(x)min＝

221＋a＋2－a，a<－1.

由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．

法二：x2－2ax＋2≥a，

即x2－2ax＋2－a≥0，

令f(x)＝x2－2ax＋2－a，

所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)，

Δ＝4a2－42－a>0，f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0或a<－1，f－1≥0，即－2≤a≤1或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1. 综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．

总结：

利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型

(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．

(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．

课堂练习：

π1．命题p：∃x0∈[0，π]，使sinx0＋

ππ4π解析：由0≤x≤π，得≤x＋≤，

333所以－π3≤sinx＋≤1. 23π而命题p：∃x0∈[0，π]，使sinx0＋

3因为p为真命题，所以a>－答案：－3. 23，＋∞

222．已知命题p：∃x0∈R，使x20－mx0＋1＝0，命题q：∀x∈R，有x－2x＋m>0.若命题q∨(p∧q)为真，綈p为真，求实数m的取值范围．

解：由于綈p为真，所以p为假，则p∧q为假．

又q∨(p∧q)为真，故q为真，即p假、q真．

命题p为假，即关于x的方程x2－mx＋1＝0无实数解，则m2－4<0，解得－2

命题q为真，则4－4m<0，解得m>1. 故实数m的取值范围是(1,2)．