2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系课堂实录

§2.3.1 直线与平面垂直的判定

南安市体育学校 洪志成

教学目标

1、知识与技能

（1）掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；

（2）掌握判定直线和平面垂直的方法；

（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

2、过程与方法

（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。

（2）探究判定直线与平面垂直的方法。

3、情感、态度与价值观

培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”的过程中获取新知。

教学重点

直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

教学难点

操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步应用。

教学方法

启发式教学法、多媒体教学法。

教辅手段

教师备：多媒体课件、三角板；

学生备：三角形纸片、三角板。

教学过程

一、情景设置------从实际背景中感知直线与平面垂直的形象

问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？

（直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交）

问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。

（最多的是直线与平面相互垂直，比如说旗杆与地面、高楼的侧棱与地面、大桥桥柱与水面等等）

二、新知探究

1.提炼直线与平面垂直的定义

问题3：如何给直线和平面垂直下定义？先回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？

（两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题）

启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？

问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．

(1)阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？（90度）

(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?（不会）

(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？（垂直，依据是一条直线垂直于2条平行线中的一条，则这条直线也垂直于另一条平行线）

2、直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直的表示

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

符号表示：

任意a,lal思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？（不一定）

（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？（是，根据定义知：若l，则la,a) 3.探究直线与平面垂直的判定定理

通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验。这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。

问题5：（折纸试验）请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验：过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD（如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）

（1）折痕AD与桌面垂直吗？（不一定）

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直（如图2），其它位置都不能使AD与桌面垂直。）

问题6：

（1）如果我们把折痕AD抽象为直线l，把BD、CD抽象为直线m,n，把桌面抽象为平面 (如图3)，那么你认为保证直线l与平面垂直的条件是什么？（a内直线m、n分别与l垂直，并且m、n须相交）

(2)如果将图3中的两条相交直线m,n的位置改变一下，仍保证lm,ln，（如图4）你认为直线还垂直于平面吗？（l垂直于a）

4、直线和平面垂直的判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（文字语言）

m,n,mnP,lm,lnl（符号语言）

问题7：（1）与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里? （把寻平面内的所有直线转化为寻找平面内的2条相交直线）---------“无限转化为有限”的数学思想

（2）你觉得定义与判定定理的共同点是什么?（平面内的直线和平面外的直线垂直）------“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想

三、即时体验-------直线与平面垂直判定定理的应用

例：如图5，在三棱锥V-ABC中

，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点。

求证：AC⊥平面VKB 证明：∵VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点

∴VK⊥AC,BK⊥AC 又∵VK平面VKB,BK平面VKB,VK∩BK=K ∴AC⊥平面VKB

思考：

(1)在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求证：VB⊥AC；

证明：由例子得AC⊥平面VKB，所以VB⊥AC。

(2)在⑴中，若E、F分别是AB、BC

的中点，如图6，试判断EF与平面VKB的位置关系；

解：EF⊥平面VKB

(3)在⑵的条件下，有人说“VB⊥AC，

VB⊥EF，

∴VB⊥平面ABC”，对吗？

解：不对，因为EF与AC是平行线。

课堂练习：课本P67练习2 过△ABC所在平面外a外一点P，作PO⊥a，垂足为O,连接PA,PB,PC. (1)若PA=PB=PC,∠C=90º,则点O是AB边的 中

点。

（2）若PA=PB=PC，则点是△ABC的 外 心。

（3）若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的 垂 心。

四、归纳提升

（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？试用自己理解的语言叙述。

（2）直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法？

（“无限转化为有限”、

“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想）

五、课后延续

1、回顾本节的学习过程，整理学习笔记，完成课本P66探究题；

2、完成书面作业：（1）如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形；

（第（1）题） （第（2）题） （选做题）

（2）如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD.

3、选做题：如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？

板书设计

课题：

定义：

练习

（投影仪）

判定定理：

练习

教后反思