3.1.2 导数的概念教学设计与反思

【学习目标】1．理解平均变化率的概念； 2．会求函数在某点附近的平均变化率．

3．了解瞬时变化率、导数概念的实际背景． 4．了解导数概念．

5．会利用导数的定义求函数的导数．

【先学自研】

一、知识梳理

1．平均变化率．

⑴平均变化率的概念：对于函数yf(x)，我们把式子

变化率与导数的概念

f(x2)f(x1)称为函数f(x)从x2x1x1到x2的平均变化率，简记为：即：y(这里的xx2x1，可正可负但不能为0)．

xyf(x2)f(x1)

xx2x1⑵求函数的平均变化率的步骤：

①求自变量的增量： ②求函数值的增量：

xx2x1；yf(x2)f(x1)；③求函数的平均变化率：yf(x2)f(x1)

xx2x1⑶平均变化率的几何意义：

设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲线yf(x)

上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率

yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)

xx2x1x为割线AB的斜率。

⑷平均变化率的物理意义：

位移s关于时间t的函数s(t)的平均变化率段内的平均速度。

2．瞬时变化率：

⑴瞬时变化率的概念：

对函数yf(x)，当自变量x从x0到x1时，函数值从f(x0)到f(x1)，其平均变化率为ss(tt)s(t)表示物体在某一时间ttyf(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)，当x1趋于x0，即x0时，如果平均变xx1x0x化率趋于一个稳定值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率．

即瞬时变化率lim⑵物理意义：

x0f(x0x)f(x0)

x

①瞬时速度：当t0时，平均速度数称为tt0时的瞬时速度．

ss(t0t)s(t0)无限趋近于一个常数，这个常ttvv(t0t)v(t0)

ttvv(t0t)v(t0)③瞬时加速度：当t0时，无限趋近于一个常数，这个常数称为tttt0时的瞬时加速度．

②速度的平均变化率：3．导数的概念．

设函数yf(x)在区间(a,b)上有定义，x0(a,b)，若x0时，平均变化率yf(x0x)f(x0)无限趋近于一个常数，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数xx为函数f(x)在xx00处的导数，记作f(x0)或y|xx0．

即：f(x0)y|xx0limx0f(x0x)f(x0)

x4.求导数的步骤．（简记为：一差、二化、三极限）

①求函数值的增量：yf(x0x)f(x0)；

yf(x0x)f(x0)；

xxf(x0x)f(x0)③取极限，得导数：f(x0)y|xx0lim. x0x②求平均变化率：二、基础训练

1．函数y11在[1,a]上的平均变化率为，则a( ) x2A．1 B．2 C．3 D．4 2．将半径为R的球加热，若球的半径增加R，则球的表面积的增加量S等于( ) A．8RR B．8RR4(R)2 C．4RR4(R)2 D．4(R)2

3．一物体的运动方程是s3t，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为( ) A．0.41 B．3 C．4 D．4.1 24．一物体运动满足曲线方程s4t2t3，且s(5)42(m/s)，其实际意义是( ) A．物体5秒内共走过42米 B．物体每5秒钟运动42米

C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒

D．物体以t5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的路程为42米

【点拨讲解】

例1、⑴求函数f(x)3x2在区间[x0,x0x]上的平均变化率，并求当x02,x0.1时平均变化率的值.

22

⑵若函数f(x)x2x在[2,2x](x0)的平均变化率不大于－1，求x的范围。

例2、⑴．一质点运动的方程为s53t，若该质点在时间段[1,1t]内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是( ) A．－3 B．3 C．6 D．－6 ⑵．已知使函数yxax则常数a________．

⑶．已知f(x0)a，则lim3224a(aR)的导数值为0的x值同时使得函数值y等于0，3x0f(x0x)f(x03x)的值为（ ）

xA.2a B.a C.2a D.4a

例3、用导数的定义求下列函数的导数：

⑴f(x)

【训练内化】

1. 一物体的运动方程是s2t，则从2s到3s这段时间内路程的增量为( ) A．18 B．8 C．10 D．12 22．某质点沿直线运动的方程为s2t1，则该质点从t1到t2时的平均速度为( ) 212在x1处的导数． ⑵f(x)2x4x在x3处的导数. xA．－4 B．－8 C．－6 D．6 3．若f(x)x3,f(x0)3，则x0的值是( ) A．1 B．－1 C．±1 D．3

4.设函数yf(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)a(x)b(x)2（a,b为常数），则( ) A．f(x)a B．f(x)b C．f(x0)a D．f(x0)b

5．⑴函数f(x)满足lim⑵若x0f(1)f(1x)1，则f(1)________．

xf(x0k)f(x0)

2kf(x0)2，则limk0⑶已知f(a)3，则limh0f(a3h)f(ah) . h6．求函数y

7．求y

x21在x0到x0x之间的平均变化率. x1在x1处的导数.