3.1直线的倾斜角与斜率（通用）板书设计及设计说明

学科

数学

授课

年级

高二

课题

直线的倾斜角和斜率

本课是人教版数学必修第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直教

材

分

析

角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念：当直线与x轴相交时，取x轴作基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角，当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为零。

直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正

确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

知识与技能：

正确理解直线的倾斜角和斜率概念，并能应用过两点的直线的斜率公式解决简单问题。

过程与方法：

通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能

力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力。

态度情感与价值观：

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学

生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度。

抽象概括直线的倾斜角和斜率概念，探究发现过两点的直线的斜率公式。

多媒体课件

教

学

难

点

教学方法

倾斜角概念形成，斜率概念的理解。

师生互动、引导学生主动发现探索

教

学

目

标

教

学

重

点

教学

手段

教学过程

教学

环节

教学内容

1、在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方

法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。

师生互动

生：相互讨论完成引例.

师：引导学生分析归纳概括得出结论．

设计意图

设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生导

入

2、问题：直线上点的坐标与方程的解之间有什么关系？

师生：共同问题：

如何用代数的方法表示平面中简单图形——直线？

总结出直线方程的概念。

问题：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？

探

究

新

知

指定学生回答，教师给与补充、纠正

问题：如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线的区师生：引导学别在哪里？

生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

生：观察图形，相互讨论，但问题：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相是在倾斜角定义得出时会有对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直

困难。

线与x轴的相对倾斜程度呢？

师：给学生鼓 依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？

励、引导，师生共同得出倾斜角概念。

从实例入手，引出用倾斜角

的正切值表示

斜率。

用“坐标法”的思想来思考新的问题。

同时使学生明确本课学习的内容。

明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。

引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。

概

念

形

成

组

织

探

究

组

织

探

究

组

织

1、问题：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？

在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？

2、问题：（1）观察图中楼梯，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？

师:引导学生在生活中举例，山坡，楼梯等，教师楼梯的教学情景。

生：探索、交流。用数学语言表达自己的发现。

基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念

3、问题：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

4、任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？

是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？

（倾斜角与斜率一一对应吗？）

沟通数形关系，充分利用正切函数的图象，加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。但根据正切函数的定义域，并非所有的直线都有斜率

让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。

学生自己完成然后教师组织同桌间互相交流，共同得出结论。

教师指定学生强调易犯的错误

5、推导过两点的直线的斜率公式：

问题：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？

指定学生回答，如果有错误，教师组织学生纠正。

探

究

问题：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗? 师生：总结两点式斜率计算公式：通过自己的探索，完善两点式斜率公式

（x1≠x2），检（x1≠x2）。

验得到公式与P1，P2两点的顺

序无关。

k=k=练

习

巩

固

【例1】

判断下列命题的真假：

1.

任何一条直线都有倾斜角，所以任何一条直线都有斜率；

2.

直线的倾斜角与直线的斜率一一对应；

3.

直线的倾斜角为

，则sin0；

4.

直线的倾斜角越大，则直线的斜率也越大；

5.

直线斜率的范围是,

学生回答

帮助学生巩固基本概念，发现易错点。

练

习

巩

固

【例2】已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是

钝角？

变式1.直线的斜率为k，倾斜角为α，若则k的范围是（

）

A.（-1，1）

B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.[-1，1] D. （-∞，-1]∪[1，+∞）

变式2.设直线的斜率为k，倾斜角为α，若-1

（

）

＜α＜，

设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。

根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。

给学生创造一个动手探究、学以致用的机会，要求学生画图，体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系

A．（-,）

B.

C.（0，）∪（，）D.

【例3】在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。

师：引导学生充分利用正切函数的图象解决问题，数形结合。

要求学生画图，体验数形结合的思想方法。

【练习】

已知直线的倾斜角为α，若sinα=，求此直线的斜率。

教师根据课堂实际时间，确定练习与否

对斜率进一步巩固。

课

堂

小

结

学生思考，回答让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角提问：

（形）和斜率（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什（数）。利用确定直线的两种么关系？

方法，归纳出（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

求斜率的两个（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）、

计算公式。在也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数倾斜角和斜率相互转化的过学思想？

程中体现了数

形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。

总结本课所学知识，培养学生归纳知识能力及反思的习惯。

作

业

扩

展

通过训练，巩固本课所学知1.已知直线y=xsinθ-1，求该直线倾斜角范围。

识，检测运用所学知识解决2．在x轴上有一点P与Q（2，）倾斜角为150o,求点P问题的能力。

学生独立完成

坐标。

3．求证：点A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在一条训练学生应用基础知识的能直线上。

力，培养学生

探究的兴趣，加深学生思考。

板

书

设

计

课题

一、直线方程

二、直线的倾斜角

三、直线的斜率

四、斜率公式

练习

小结

作业