习题3.2PPT专用教学设计内容

空间向量与空间角

(25分钟

60分) 一、选择题(每小题5分,共25分)

1.平面α的一个法向量为n=(1,-错误！未找到引用源。,0),则y轴与平面α所成的角的大小为

(

) A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选B.y轴的一个方向向量为m=(0,1,0),

所以=错误！未找到引用源。, 所以y轴与平面α所成角的大小为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 2.(2015·太原高二检测)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于

(

)

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选B.如图所示建立空间直角坐标系, - 1 -

则O(1,1,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),F(1,0,0). 所以错误！未找到引用源。=(-1,1,1),错误！未找到引用源。=(-1,0,2), 所以cos<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 所以异面直线OE与FD1所成的角的余弦值等于错误！未找到引用源。. 3.(2015·衢州高二检测)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值为

(

) A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.如图所示建立空间直角坐标系. 设AA1=2AB=2a,则

B(a,0,0),D(0,a,0),C1(a,a,2a),C(a,a,0). 所以错误！未找到引用源。=(-a,0,0),错误！未找到引用源。= (-a,a,0),错误！未找到引用源。=(0,a,2a), 设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z), 则错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。

- 2 -

令y=2,则x=2,z=-1. 所以平面BDC1的一个法向量为n=(2,2,-1). 设CD与平面BDC1所成的角为α,则

4.已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是

(

) A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选C.以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.则A(1,0,0),

E错误！未找到引用源。,F错误！未找到引用源。, D1(0,0,1). 故错误！未找到引用源。=(-1,0,1),错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 设平面AEFD1的法向量为n=(x,y,z),则

故x=2y=z,取y=1,则n=(2,1,2). - 3 -

而平面ABCD的一个法向量为u=(0,0,1),

设截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的大小为θ, 则|cosθ|=|cos|,故sinθ=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 5.如图,在圆锥PO中,已知PO=错误！未找到引用源。,☉O的直径AB=2,C是错误！未找到引用源。的中点,则二面角B-PA-C的余弦值为

(

)

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解题指南】以O为坐标原点,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,还要注意二面角B-PA-C为锐角. 【解析】选B.如图,以O为坐标原点,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0), P(0,0,错误！未找到引用源。). - 4 -

设n1=(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量, 则由n1·错误！未找到引用源。=0,n1·错误！未找到引用源。=0,得错误！未找到引用源。

所以x2=-错误！未找到引用源。z2,y2=错误！未找到引用源。z2. 取z2=1,得n1=(-错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,1). 因为y轴⊥平面PAB, 所以平面PAB的一个法向量为n2=(0,1,0). 设向量n1和n2的夹角为θ,

由图可知,二面角B-PA-C为锐角,所以二面角B-PA-C的余弦值为错误！未找到引用源。. 二、填空题(每小题5分,共15分)

6.在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成的角为________. 【解析】建立坐标系如图,则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1). 故错误！未找到引用源。=(2,2,0), - 5 -

错误！未找到引用源。=(0,1,-1). 从而cos<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 即<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。. 于是PE与DB所成的角为错误！未找到引用源。. 答案:错误！未找到引用源。

【延伸探究】本题中若E是PD的中点,其他条件不变,求直线BC与平面ACE所成角的正弦值. 【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.

则A(1,-1,0), B(1,1,0), C(-1,1,0), D(-1,-1,0), P(0,0,1),E错误！未找到引用源。, 所以错误！未找到引用源。=(-2,0,0),错误！未找到引用源。=(-2,2,0), - 6 -

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 设平面ACE的法向量n=(x,y,z),

取x=1,则y=1,z=2. 所以平面ACE的一个法向量n=(1,1,2). 设直线BC与平面ACE所成角为α,则

7.如图所示,A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D1,F1分别是A1B1和A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则D1B与AF1夹角的余弦值是______.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=CA=CC1=2,所以A(2,0,0), B(0,2,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2),B1(0,2,2),因为D1,F1分别为A1B1,A1C1的中点,所以D1(1,1,2),F1(1,0,2),所以错误！未找到引用源。=(-1,1,-2),错误！未找到引用源。=(-1,0,2),所以错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=(-1,1,-2)·(-1,0,2)=-3,|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, - 7 -

所以cos<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 所以异面直线D1B与AF1的夹角的余弦值为错误！未找到引用源。. 答案:错误！未找到引用源。

8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=AA1=2,点D是A1C1的中点,则异面直线AD和BC1所成角的大小为________. 【解析】如图建立空间直角坐标系,

则A(2,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),B(0,0,0),由D为A1C1中点知D(1,1,2),所以错误！未找到引用源。=(-1,1,2),错误！未找到引用源。=(0,2,2).所以cos<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, 所以异面直线AD与BC1所成的角为30°. 答案:30°

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2015·益阳高二检测)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱CC1的中- 8 -

点.

(1)求AD1与DB所成角的大小. (2)求证:DB⊥平面AEA1. 【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),B(2,2,0),

D(0,0,0),A1(2,0,2),E(0,2,1),D1(0,0,2). 所以错误！未找到引用源。=(-2,0,2),错误！未找到引用源。=(2,2,0), 错误！未找到引用源。=(0,0,2),错误！未找到引用源。=(-2,2,1), (1)cos<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=-错误！未找到引用源。. 所以<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。. 直线AD1与DB所成的角为错误！未找到引用源。. (2)因为错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=(2,2,0)·(0,0,2)=0, 错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=(2,2,0)·(-2,2,1)=0, 所以错误！未找到引用源。⊥错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。⊥错误！未找到引用源。, 即DB⊥AA1,DB⊥AE,又AA1∩AE=A, 所以DB⊥平面AEA1. 10.(2015·山东高考)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,点G,H分别为AC,BC- 9 -

的中点.

(1)求证:BD∥平面FGH. (2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小. 【解题指南】(1)要证明线面平行可利用面面平行加以证明.(2)设法构造两两垂直的三条直线,以便建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角. 【解析】(1)因为DEF-ABC是三棱台,且AB=2DE, 所以BC=2EF,AC=2DF. 因为点G,H分别是AC,BC的中点,所以GH∥AB, 因为AB⊄平面FGH,GH⊂平面FGH, 所以AB∥平面FGH;因为EF∥BH且EF=BH, 所以四边形BHFE是平行四边形, 所以BE∥HF,BE⊄平面FGH,HF⊂平面FGH, 所以BE∥平面FGH; 又因为AB∩BE=B,所以平面ABE∥平面FGH, 因为BD⊂平面ABE,所以BD∥平面FGH. (2)因为CF⊥平面ABC,所以CF⊥AB, 又BC⊥AB,BC∩CF=C,所以AB⊥平面BCFE, 以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴建立空间直角坐标系, 因为∠BAC=45°,所以BC=AB,设DE=1,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0), - 10 -

H(1,0,0),G(1,1,0),F(2,0,1), 所以错误！未找到引用源。=(0,1,0),错误！未找到引用源。=(1,0,1),设平面FGH的一个法向量为n=(x,y,z),则错误！未找到引用源。,令x=1,则z=-1,所以n=(1,0,-1). 连接BG,可得BG⊥AC,BG⊥CF,又AC∩CF=C,所以BG⊥平面ACFD. 所以错误！未找到引用源。=(1,1,0)是平面ACFD的一个法向量,所以cos=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 所以平面FGH与平面ACFD所成的锐二面角的大小为60°. (20分钟

40分) 一、选择题(每小题5分,共10分)

1.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为

(

)

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.设CB=1,则A(2,0,0),B1(0,2,1),C1(0,2,0),B(0,0,1), 错误！未找到引用源。=(0,2,-1),错误！未找到引用源。=(-2,2,1).cos<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=1,则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为(

) - 11 -

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选D.以点D为原点,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0), D1(0,0,1). 因为AB⊥平面BCC1B1,所以错误！未找到引用源。为平面BCC1B1的一个法向量.设直线BD1与平面BCC1B1所成角为θ,则有sinθ=|cos<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。>|=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是________. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,

则B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0),错误！未找到引用源。=(-1,0,1), 错误！未找到引用源。=(-1,0,-1),错误！未找到引用源。=(-1,-1,0), 设平面A1BD的一个法向量为n=(1,x,y),设平面A1BD与BC1所成的角为θ,由n⊥错误！未找到引用源。,n⊥错误！未找到引用源。, 所以n·错误！未找到引用源。=0,n·错误！未找到引用源。=0, 所以错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。

所以n=(1,-1,-1),则- 12 - =-错误！未找到引用源。,所以

sinθ=错误！未找到引用源。, 所以cosθ=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 答案:错误！未找到引用源。

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。> =错误！未找到引用源。,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.

【解析】设PD=a(a>0),则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E错误！未找到引用源。, 所以错误！未找到引用源。=(0,0,a),错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,因为cos<错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。>=错误！未找到引用源。,所以错误！未找到引用源。=a错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。,所以a=2,所以点E的坐标为(1,1,1). 答案:(1,1,1) 4.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则a=________. 【解题指南】分别求出平面α和平面xOy的法向量,再依据两平面夹角为45°列方程求a. 【解析】平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1), - 13 -

设平面α的法向量为u=(x,y,z), 则错误！未找到引用源。则3x=4y=az. 取z=1,则u=错误！未找到引用源。.

又a>0,故a=错误！未找到引用源。. 答案:错误！未找到引用源。

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2015·全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由). (2)求直线AF与平面α所成角的正弦值. 【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图:

(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8. 因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10. - 14 -

于是MH=错误！未找到引用源。=6,所以AH=10. 以D为坐标原点,错误！未找到引用源。的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则

A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),错误！未找到引用源。=(10,0,0),错误！未找到引用源。=(0,-6,8). 设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则

所以可取n=(0,4,3),又错误！未找到引用源。=(-10,4,8),

所以AF与平面EHGF所成的角的正弦值为错误！未找到引用源。. 6.(2015·湖南高考)如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A1A=6,且A1A⊥底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上.

(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ. (2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为错误！未找到引用源。,求四面体ADPQ的体积. 【解析】由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为- 15 -

A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),

Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6. (1)若P是DD1的中点,则P错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=(6,m-错误！未找到引用源。,-3),又错误！未找到引用源。=(3,0,6),于是错误！未找到引用源。·错误！未找到引用源。=18-18=0,所以错误！未找到引用源。⊥错误！未找到引用源。,即AB1⊥PQ. (2)由题设知,错误！未找到引用源。=(6,m-6,0),错误！未找到引用源。=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量. 设n1=(x,y,z)是平面PQD的一个法向量, 则

取y=6,得n1=(6-m,6,3).又平面AQD的一个法向量是n2=(0,0,1),所以

错误！未找到引用源。,而二面角P-QD-A的余弦值为错误！未找到引用源。, 因此错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,解得m=4,或m=8(舍去),此时Q(6,4,0),设错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。(0<λ≤1),而错误！未找到引用源。=(0,-3,6),由此得点P(0,6-3λ,6λ),所以错误！未找到引用源。=(6,3λ-2,-6λ).因为PQ∥平面ABB1A1且平面ABB1A1的一个法向量为n=(0,1,0),所以n·错误！未找到引用源。=0,即3λ-2=0,亦即λ=错误！未找- 16 -

到引用源。,从而P(0,4,4).于是,将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ,则其高h=4, 故四面体ADPQ的体积V=错误！未找到引用源。S△ADQ·h=错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。×6×6×4=24. 【补偿训练】如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.

(1)求证:平面AEC⊥平面PDB. (2)PD=错误！未找到引用源。AB,且直线AE与平面PBD夹角为45°时,求错误！未找到引用源。的值. 【解析】(1)设AC∩BD=O,连接OE, 因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AC. 又BD⊥AC,所以AC⊥平面PDB. 又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDB. (2)以D为原点建立空间直角坐标系如图,

平面PBD的法向量n=(1,-1,0),设PD=错误！未找到引用源。AB=2, 错误！未找到引用源。=λ错误！未找到引用源。, - 17 -

则E(错误！未找到引用源。λ,错误！未找到引用源。λ,2-2λ), 错误！未找到引用源。=(错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,-2), 错误！未找到引用源。=(错误！未找到引用源。λ-错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。λ,2-2λ),

解得λ=错误！未找到引用源。或λ=1(舍去).所以错误！未找到引用源。=1. - 18 -