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圆锥曲线（1）(岳怀琼)

【知识网络】

直线与抛物线的位置关系

抛物线

定义

标准方程

性质

性质

椭

圆

第

第一

二定

定义

义

标准方程

a,b,c的关系

性质

离心率

准线

焦半径

相交

直线与椭圆的位置关系

相切

相离

对称性

焦点

顶点

离心率

准线

标准方程

焦半径

渐近线

相交

直线与双曲线的位置关系

相切

相离

对称性

焦点

顶点

离心率

准线

焦半径

相交

相切

相离

对称性

焦点

顶点

圆锥曲线

双曲线

第

第一

二定

定义

义

a,b,c的关系

3．1 椭圆

【考点透视】

一、考纲指要

1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．

2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力. 二、命题落点

圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力. 【典例】

例1：（2005·全国1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OAOB与a(3,1)共线．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设M为椭圆上任意一点，且OMOAOB (,R)，证明22为定值．

x2y21长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦例2：（2005·上海）如图，点A、B分别是椭圆3620点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF．

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．

例3：（2005·福建）已知方向向量为v(1,3)的直线l过点x2y2（0,23）和椭圆C:221(ab0)的焦点，且椭ab心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上. （1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足OMON圆C的中y

46cot∠MON≠0（O为原点）.若存3E

在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

【常见误区】

O

解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点. x【基础演练】

1x2y21的离心率为，则m= 1．(2005·广东) 若焦点在x轴上的椭圆22m

A．3

B．（

）

3

222C．8

3D． 2

3（

）

2．(2005·福建) 设a,bR,a2b6,则ab的最小值是

A．22

B．53

3C．－3 D．7

23．(2005·全国3) 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

（

）

A．2

2B．21

2C．22

D．21

x2y24．(2005·江苏) 点P(3,1)在椭圆221(ab0)的左准线上，过点P且方向为a(2,5)的光线ab经直线y2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为

A．

（

）

3

3B．1

3C．2

2D．1

25．（2005·重庆）已知A(11,0),B是圆F:(x)2y24(F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线22交BF于P，则动点P的轨迹方程为

. 6．如图所示, 底面直径为12cm的圆柱被与底面成30的平面所截，

其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长

，

短轴长

，离心率为

．

y P Ｑ

x2y21(ab0)的左、右焦点分别是

7．(2005·辽宁) 已知椭圆a2b2F1(c,0)、F2(c,0)，Q是椭圆外的动点，满足|F1Q|2a，

点Ｐ是线段F1Q与该椭圆的交点，点Ｔ在线段F2Q上，并且

满足PTTF20,|TF2|0．

（1）设x为点Ｐ的横坐标，证明

|F1P|a（2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；

F1O F2x cx；

a（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△F1MF2的面积Sb2．若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．

x2y28．(2005·湖南) ．已知椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：yab＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB.

（1）证明：λ＝1－e2；

（2）若3，△PF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程；

4

（3）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形. 9．(2005·湖北) 设A、B是椭圆3x2y2上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（2）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

3．2 双曲线

【考点透视】

一、考纲指要

熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．

二、命题落点

1．考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程，以及标准方程中a,b,c之间的关系,两渐近线间的夹角的求法，如例1.

2．双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例2; 3．考查等边三角形的性质，焦点三角形公式及离心率公式，灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的运算，突出观察研究能力的考查，如例3. 【典例】

x2y2例1：

(2005·湖南) 已知双曲线2－2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于aba2点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角（

）

2

A．30º

B．45º

C．60º

D．90º 例2：(2005·全国3)已知双曲线点M到x轴的距离为

A．

B．x2y22

1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1MF20,则（

）

4

35

3C．23

3D．3

x2y2例3：（2005·福建）已知F1、F2是双曲线221(a0,b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三ab角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(

)

A．423

B．31

C．31

2D．31

x2y2例4.（2005·山东）设双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、abQ两点，如果PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e___________. 【常见误区】

1．对双曲线离心率、双曲线渐近线等基本知识考察时, 应想法利用已知曲线构造等式,从而解出c,a的比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例3、例4. 2．解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考生常会忽视,如例1、例2. 【基础演练】

1．（2006·广东）已知双曲线3x2y29，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于

A．2

B．

D．

4 （

）

22

3C．2 x2y21长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的2．

(2005·天津) 设双曲线以椭圆259渐近线的斜率为

A．2

B． （

）

4

3C．1

2D．3

43．平面内有两个定点F1,F2和一动点M，设命题甲，||MF1||MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是

双曲线，则命题甲是命题乙的

A．充分但不必要条件

C．充要条件

（

）

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

（

）

4．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为e1,e2，则e1,e2应满足的关系是

A．e1e21

C．

22 B．e1e21

D．22

1e121e221

1e121e221

x2y25．(2005·浙江) 过双曲线221(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两ab点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．

6．(2005·江西) 以下几个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，|PA||PB|k，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若OP12(OAOB),则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x5x20的两根可分别作为椭圆和双曲线2

x2y2x21与椭圆的离心率；④双曲线y21有相同的焦点.其中真命题的序号为

25935（写出所有真命题的序号）

x2y21的左右焦点分别为F1,F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使7．已知双曲线25144|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项？若能，求出P的坐标，若不能，说明理由．

x2y28．过双曲线221(a0,b0)的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，abl

与双曲线的左、右支的交点分别为A,B．

（1）求证：P在双曲线的右准线上；

（2）求双曲线离心率的取值范围．

9．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．

（1）渐近线方程为x2y0,x2y0，

（2）点A(5,0)到双曲线上动点P的距离最小值为6．

3．3 抛物线

【考点透视】

一、考纲指要

掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．

二、命题落点

1．考察抛物线过焦点的性质,如例1; 2．抛物线上张直角问题的探究, 考察抛物线上互相垂直的弦的应用，如例2; 3．定值及定点问题是解几问题研究的重点内容,此类问题在各类考试中是一个热点，如例3. 【典例】

例1：(2005·全国3) 设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y2x2上，l是AB的垂直平分线，

（1）当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.

例2：（2005·广东）在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx2上异于坐标原点O的两不同动点Ａ、Ｂ满足AOBO（如图所示）

（1）求AOB得重心G（即三角形三条中线的交点）

的轨迹方程；

（2）AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出

B 最小值；若不存在，请说明理由．

例3：(2005·江西) M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．

O x

（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.

y A 【常见误区】

1．运算正确率太低, 这是考生在解解析几何问题中常出现的问题, 即会而不对.

2．抛物线中的焦点坐标与准线方程求解过程中常误求出二倍关系; 3．定点与定值问题总体思路不能定位,引入参变量过多,没有求简意识,使问题复杂化. 【基础演练】

x2y21(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，1．(2005·湖北) 双曲线mn则mn的值为

A．

B．

（

）

3

163

8C．16

3D．8

32．

(2005·辽宁) 已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线y24x

的准线重合，则该双曲线与抛物线y24x的交点到原点的距离是

A．236

B．21

C．18122

D．21 （

）

x2223．（2005·全国1）已知双曲线2y1 (a0)的一条准线与抛物线y6x的准线重合，则该双曲a线的离心率为

A．

B．

（

）

3

23

2C．6

2D．23

34．(2005·江苏) 抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（

）

A．17

16B．15

16C．7

8D．0 5．（2005·上海）过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

条. 6．

(2005·重庆) 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是

（填写所有正确选项的序号）.

①菱形

②有3条边相等的四边形

③梯形

④平行四边形

⑤有一组对角相等的四边形

7．抛物线以y轴为准线，且过点M(a,b)(a0)，证明：不论M点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．

8. 已知抛物线y2px(p0)，过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同两点A,B，2|AB|2p，

（1）求a取值范围；

（2）若线段AB垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值

9．(2003·北京春,理22)已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x1相切,点C在l上.

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点P,且斜率为－3的直线与曲线M相交于A,B两点.

(i)问：△ABC能否为正三角形？若能,求点C的坐标；若不能,说明理由；

(ii)当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.