小结教学实录

向量法求解立体几何问题

会同县第一中学

于树林

2018年4与27日

一、教学目标

知识目标：向量法求空间角

技能目标：适当建系，准确的找点的坐标

情感目标：培养学生空间的想象能力和计算能力

二、教学重点：向量法求线面角、二面角

教学难点：准确的找到各个点的坐标

三、教学过程

1、知识点

必备方法

平面的法向量求法步骤：

(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)．

(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；

n·a＝0，(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组n·b＝0；

(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．

技巧掌握

（1）求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l

与平面α所成的角为θ，则sin θ＝____________＝______. （2）求二面角的大小

若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量________的夹角．

易误提醒

(1)通常取直线上的两个特殊点构成直线的方向向量；当直线平行于x轴，y轴或z轴时，直线的方向向量可分别取i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)．

(2)求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特殊值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n＝(0,0,0)不能作为法向量．

(3)空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是[0，π]，两异面直线所成的角的范围是[0，π/2]. (4)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．

2、例题讲解

典例1、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AB的中点．

(1)求直线AD和直线B1C所成角的大小；

(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD.

课堂跟踪练习：

1．直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(

) 12302A.

B. C. D.

105102

典例2、长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；

(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．

课堂跟踪练习：

2．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA＝AB＝2，BC＝12AD，E是线段AB的中点．

(1)求证：PE⊥CD；

(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．

典例3、在四棱锥A­EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．

(1)求证：AO⊥BE；

(2)求二面角F­AE­B的余弦值；

(3)若BE⊥平面AOC，求a的值．

课堂跟踪练习：

3．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.

(1)证明：EF∥B1C；

(2)求二面角E－A1D－B1的余弦值．

3、课堂总结

（1）、注意向量的夹角与异面直线所成角的区别；

（2）、利用向量法求线面角的方法

作业：

如图，在长方体ABCD

A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．