1.2.2 充要条件教学内容概述

1.2.2 充要条件

学习目标

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．充分条件与必要条件

命题真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

推出关系

p⇒q pq

p是q的充分条件

p不是q的充分条件

条件关系

q是p的必要条件

q不是p的必要条件

思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

[提示] (1)相同，都是p⇒q

(2)等价

2．充要条件

(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．

(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．

(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．

思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

[基础自测] 1．思考辨析

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．

(

) (2)q不是p的必要条件时，“pD⇒/q”成立．

(

) (3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．

(

) [答案] (1)√

(2)√

(3)×

2．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

A

[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.] 3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．

(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. (1)(3) [在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q⇒p，所以(2)中p不是q的充要条件．] [合

作

探

究·攻

重

难] 类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判断

指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

a(4)p：a＜b，q：＜1. b[思路探究] 判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断q是p的什么条件．

[解] (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．

(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即q⇒p，但p⇒q，所以p是q的充分不必要条件．

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；

当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；

ababababa当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b. b因此p是q的既不充分也不必要条件．

当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；

[跟踪训练] 1．(1)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

D

[令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．] (2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是(

) ①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；

②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；

③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；

④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．

A．①④

B．①②③

C．①②③④ D．①②④

D

[①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．

②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．

③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．

④Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．] 类型二：充要条件的探求与证明

(1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为(

) A．0

B．00 D．x<4 11(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. xy[思路探究] (1)先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．

(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．

[解析] (1)由x2－4x<0得00及x>y，得>，即<. xyxyxy1111y－x必要性：由<，得－<0，即<0. xyxy因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 11所以<的充要条件是xy>0. xyxy1111y－x法二：<⇔－<0⇔<0. xyxyxy由条件x>y⇔y－x<0，故由11所以<⇔xy>0，

y－x<0⇔xy>0. xyxy11即<的充要条件是xy>0. xy[跟踪训练] 2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是(

) A．x∈(0,2)

B．x∈[－1，＋∞) C．x∈(0,1) D．x∈(1,3) B

[由x(x－2)<0得0

(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，

q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. ②证明q⇒p，即证明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 类型三：充分条件、必要条件、充要条件的应用

[探究问题] 1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？

提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，BA. 2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？

提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．

已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

[思路探究]

[解析] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，

m>0，所以1－m<－2，1＋m≥10

1－m≤－2，或m>0，1＋m>10，

解得m≥9. 所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．

[答案] {m|m≥9}(或[9，＋∞)) [当

堂

达

标·固

双

基] 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

B

[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选

B.] 2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B

[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.] 3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是(

) A．－2≤x≤2 B．－2

[由x2<4得－2

由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，

∴m≤1.] 5．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2. [证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，

由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．

又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．

即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2. (2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，

2Δ＝m－4≥0，m≥2或m≤－2，所以即

x1＋x2＝－m<0，m>0，

所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2. 综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实J根的充分必要条件．