习题2.3优质课教案推荐

2.3.1双曲线及其标准方程

【教学目标】: 1.知识与技能

掌握双曲线的定义及其标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法

教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

【教学难点】: 双曲线标准方程的推导

【教学过程】: 1、情境设置：

问题 1：椭圆的定义是什么？标准方程？

问题2：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，

那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？

2、探究新知:演示实验

yMF1oF2x问题1：|MF1|与|MF2|哪个大？ 请学生回答，不一定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．

问题2：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？

请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．

问题3：这个常数2a是否会大于等于|F1F2|？

请学生回答，常数2a应小于|F1F2|且大于零．当常数2a=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数2a＞|F1F2|时，无轨迹．

1.双曲线的定义

（引导学生概括出双曲线的定义）

定义:平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱) 的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距第1页

(F1F2=2c.)。

概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于F1F2”

2.双曲线的标准方程

（1）建系:以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系

(2) 设点:

设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) （3）列式|MF1| - |MF2|=±2a （4）化简方程即 (xc)2y2(xc)2y22a移项两边再平方后整理得：

c2a2x2a2y2a2c2a2由双曲线定义知

2c2a即ca,c2a20,设c2a2b2(b0)x2y2代入上式整理得221(a0,b0)ab这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），

思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么? 学生得到: 双曲线的标准方程:_______________________________. 注: (1)双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

x2y2

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0)；

aby2x2 焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0) ab②a,b,c有关系式c2a2b2成立，且a0,b0,c0 c>a. 其中a与b的大小关系:可以为ab,ab,ab

(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y项的分母22的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴

而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上

ex1：

说说双曲线与椭圆之间的区别与联系

第2页

ex2：

请说出下列方程对应曲线的名称：

(1)F1(5,0),F2(5,0),||PF1||PF2||6(2)F1(5,0),F2(5,0),|PF1||PF2|6（3）

（4）(双曲线)

(双曲线右支)

（双曲线）

|(x5)2y2(x5)2y2|6(x4)2y2(x4)2y225

（椭圆）

ex3:请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及a、

b 、c的值：

x2y21.1169y2x23.11692.x2y219164.y2x21916

3例题分析

例1已知双曲线两个焦点的坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6，求点 P 的轨迹方程. 解：由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线.因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程

x2y2

a2b21(a0,b0)2c=10a3由已知,,b2c2a2259162a=6c252

xy1所求双曲线的方程为： 。

916例2、已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 如图所示，建立直角坐标系xOy,

使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合

设爆炸点P的坐标为(x,y)，则

PAPB3402680即 2a =680，a =340 AB8002c800,c400, b2c2a244400

800PAPB6800,x0

P

22xy

因此炮弹爆炸点的轨迹方程为

1(x0)11560044400 A

o B

x 第3页

思考1:若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则

炮弹爆炸点的轨迹是什么?

答: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.

思考2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线

上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的

准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?

答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 4、课堂练习

1、c=5，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是 2 、 x2siny2cos1表示焦点在y轴上的双曲线,则角a在第 象限.

3、已知双曲线上的点到两焦点的距离差的绝对值为6，焦距为10，则该双曲线的标准方程为

x2y2x2y21

B. 1

A. 916169x2y2x2y2x2y2x2y21或1

D. 1或1

C. 916169169916x2y21表示双曲线，求m取值范围。

4、已知方程m2m15、第55页练习1、2、3、 5.课堂小结: x2y2y2x2双曲线的两类标准方程是221(a0,b0)焦点在x轴上，221(a0,b0)焦点abab在y轴上,a,b,c有关系式c2a2b2成立，且a0,b0,c0

其中a与b的大小关系:可以为ab,ab,ab

6、课后作业：第61页习题2.3A组

第1、2题。

7、板书设计

双曲线的定义及其标准方程

双曲线的定义 三

例1： 练习

定义的挖掘 双曲线的标准方程 例2 推导：

对比：

第4页

课题：2.3.1双曲线及其标准方程

授课时间：2011-3-14 授课班级：高二（5）班

授课教师：章 燕

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