3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课堂实录【2】

名称：3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示 类型：教学设计

学校：贺兰一中

姓名：张立荣

课题：空间向量的正交分解及其坐标表示

教学名称

《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》

教学对象

【教材分析】

本节课是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理。这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。

科目

数学

高二

课时

1 教师名称

张立荣

【学情分析】

本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本定理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏深刻、直观的想象力，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。

【策略分析】

本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；体验从“实际生活—理论—实际应用”的过程；采用“教师引导—学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。

【教学目标】

（1）知识与技能目标：

理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

（2）过程与方法目标：

通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

（3）情感态度与价值观目标：

培养学生利用整体的观点和相互联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识。

【教学重难点】

教学重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

教学难点：空间向量坐标运算的规律。

【教学方法与工具】

教法指导：诱思探究教学法；

学法指导：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结；

教学手段：多媒体辅助课堂教学。

教学过程设计

教学环节

一

、

创

设

师：提出问题，引导1、问题：回忆上一节课学习学生回忆概念

过的内容，什么叫空间向量的生：回忆、叙述前面复习空间向量的基础夹角及范围？空间向量的数学过的统计内容

知识，为建立空间向量量积的概念？表示？性质？的坐标做准备。

运算律？

生（回忆）：

由平面向量的基本定理，对平面内的任意向量a，均可分解为不共线的两个向量1a1和教学内容

学生活动

设计意图

通过复习引入，使学生2、问题：说说平面向量的基如果a1a2时，这种分回忆平面向量及坐标

情

本定理？正交分解？

表示，为推广到空间向解就是平面向量的正交量做准备。

2a2使a1a12a2.

分解. 如果取a1,a2为平面直角坐标系的坐标轴方向的两个单位向量

境

i,j，则存在一对实数x、y，使得axiyj，即得到平面向量的坐标表

教

示a(x,y).

1）

探究任务一：空间向量基3.115，引导学生分析想，尝试、归纳、总结学

过

二程

、

合

分

探究任务二：结合空间向量师：引导

学生体会类比、归结果，发现问题。

培养学生分析问题和生：检查结果，联系解决问题的能力。

问题：平面内的任意一个向量实际发现问题。

P都可以用两个不共线的向量

a,b来表示。对于空间任意一

个向量，有没有类似的结论

呢？

师：利用书93页，图学生体会类比、推广思本定理

基本定理，类比平面向量正交生：自主归纳

纳思想，尝试、总分解及坐标表示，归纳；

作

问题：在空间中，如果用任意思考、总结如下：

结培养学生归纳总三个不共面向量a,b,c代替析

两两垂直的向量i ,j,k,你能1.空间向量基本定理：如结能力，实现从正得出类似的结论吗？

学

习

果三个向量交分解到直角坐标系的转换。

a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}使得pxaybzc{a,b,c}叫做空间的一个基底；a,b,c都叫做基向量.

2. 单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且

探

索

新

知

三

、

例题讲解

选修2-1：

P94

例4：如图：M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q分别MN的三等分点，用向量长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．

选取空间一点O和一个单位正交基底｛i,j,k｝，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条坐标轴：x轴、y轴、z轴，得到空间直角坐标系O-xyz，

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k．

生：自主思考，探究解题思路。

师：针对学生的解答强化或给予肯定。

进一步让学生熟悉空间向量基本定理，提高学生的运算能力，使学生掌握解决这类问题的方法。

OA,OB,OC,表示OP和OQ

四、

1、

空间向量正交分解及坐标表生：回忆总结所学知识，整理、归纳所学知识，完课示

加深印象。

善学生的认知结构，明确堂2、

数学思想方法：类比，推广，本节学习内容。

小归纳。

结

五、3、在ABC中，设1、已知e1和e2是两个单位向课ABa，BCb，堂量，夹角为，则（e1e2）练3CAc，若习

巩固提高本节学习内容，增强学生的求知欲。

(3e12e2)等于（

）

95A.-8

B.

C.

D.8 22a(ab)0ABC（

）

，则

2、已知e1和e2是两个单位向量，夹角为(A)

直角三角形

(B)锐角三角形

(C)钝角三角形

(D)无法判定

补充：

使学生“学以致用”利用

已有知识解决实际问题，增强学习数学的兴趣

，则下面向量中3与2e2e1垂直的是（

）

A.e1e2

B.e1e2

C. e1

D. e2

书本P94：1、2、3

五、作业布置

4、已知a和b是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。

5、已知OA、OB、OC是非零的单位向量，且OA+OB+OC=0，求证：ABC

为正三角形

六、课题：空间向量的正交分解及其

例4

板坐标表示

书1、

空间向量的基本定理

练习1 设2、

空间向量的正交分解

计

练习2 七、教学评价

本节课中应把更多的时间、机会留给学生，让学生的交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考。教学中要关注学生是否积极地参与到发现问题、分析问题、解决问题的探索过程中去，是否

能够达到掌握知识，提高能力的目的是否收到了理想的教学效果。教学过程中要尊重学生的自我发现，多角度的给学生以鼓励和肯定。

练习3

小结