3.2.1 几个常用函数的导数教学目标

课

题：

3．2.1几种常见函数的导数

教学目的：

1.掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2.学会利用公式，求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题

教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．

教学难点：公式(xn)'nxn1(nQ)的推导．

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入： 1.导数的定义：设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比yy（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值xx叫做函数yf(x)在xx0处的导数，记作y/xx0，即f(xx)f(x0)f/(x0)lim0

x0x2. 导数的几何意义：是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为yf(x0)f/(x0)(xx0)

3. 导函数(导数):如果函数yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数f(x), 称这///个函数f(x)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即f(x)＝//y/＝limyf(xx)f(x)lim

x0xx0xxx0/函数yf(x)在x0处的导数y就是函数yf(x)在开区间(a,b)(x(a,b))/＝f(x0)所以函数yf(x)在x0处的导数也上导数f(x)在x0处的函数值，即y记作f(x0)

//xx0/

1

导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数yf(x)在点x0处的导数就是导函数f/(x)在点x0的函数值

4.可导: 如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(x)在开区间(a,b)内可导

5. 可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. 6. 求函数yf(x)的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量yf(xx)f(x)

yf(xx)f(x)

xxy/（3）取极限，得导数y＝f(x)lim

x0x（2）求平均变化率二、讲解新课：

1.

C'0(C为常数) 说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数yC的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0. 证明：yf(x)=C，∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0 ∴nyy=0，y=C′=lim=0，∴y=0. x0xxn12.

(x)'nx(nQ) *说明：实际上，此公式对nR都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了nN的证明

证明：yf(x)=x

∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=(xx)x

=x+Cnx=Cnx1n1nnnn1n1Δx+Cnx2n22n2(Δx)2+…+Cn(x)－x

nnnnnΔx+Cnx

(Δx)2+…+Cn·(x)

y12n2nn1n1=Cnx+CnxΔx+…+Cn·(x)

x

2

∴y=(xn)=lim1y

x0xn1=lim（Cnxx0+Cnx2n2Δx+…+Cn·(x)n1)=Cnxn1n1=nxn1

∴y=(xn)'nxn1

3.

(sinx)'cosx

证明方法一：y=sinx，Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx－sinx

ysinxcosxcosxsinxsinx

xx∴y=limysinxcosxcosxsinxsinxlim

x0xx0xsinx(cosx1)cosxsinx

x0xxxsin2sinx(2sin2)2xcosx

2limcosxsinx

lim(2sinx)limx0x0x0xxx()242lim=－2sinx·1·0+cosx=cosx

∴y=cosx

证明方法二：ysinx，

ysin(xx)sinx2cos(xx)x(xx)xsin22

xx，

2cosxsin22xyx2，

cosxx2x2sinxsinyx2

∴

y'(sinx)'limlimcosxx0xx02x2xsinx2cos

limcosxlimx．

x0x0x22

3

4.

(cosx)'sinx

证明方法一：y=cosx，

Δy=cos(x+Δx)－cosx=cosxcosΔx－sinxsinΔx－cosx

y=limlimycosxcosxsinxsinxcosx

limx0xx0xcosx(cosx1)sinxsinx

x0xxcosx(2sin2)2limsinxsinxlimx0x0xxxsin22xsinx12cosx10sinxsinx

lim(2cosx)x0x()242∴y=－sinx

证明方法二：ycosx，

(x)cosx2sin

ycosx

2sinx(xx)x(xx)xsin

22xx，

sin22xsinyx2，

sinxx2x2xsinyx2

∴

y'(cosx)'limlimsinxx0xx02x2xsinx2sinx．

limsinxlimx02x0x2∴y=－sinx. 第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用

三、讲解范例：

例1 求

(1)(x3)′

(2)(

1)′

(3)(x)′

2x4

解：(1) (x3)′=3x31=3x2；

－

(2) (1－2－2－1－3)′=(x)′=－2x=－2x

2x12111111(3) (x)(x)x2x2

222x例2质点运动方程是s解：∵

s

∴

s(1, 求质点在t2时的速度．

t51，

5t156)(t)5t, 5t56∴

st252．

645答：质点在t2时的速度是．

641例3求曲线ysinx在点A(,)的切线方程．

62解：∵

ysinx

∴

y(sinx)cosx

∴

yxcos663

23

213(x)，

226∴

所求切线的斜率k

∴

所求切线的方程为

y即

63x12y630

答：曲线ysinx在点A(1,)的切线方程为63x12y630．

62四、课堂练习：

1．

(口答)求下列函数的导数：(1)y=x5

(2)y=x6

(3)x=sint

(4)u=cos

答案：

(1)y′=(x5)′=5x4；

(2)y′=(x6)′=6x5；

(3)x′=(sint)′=cost；

(4)u′=(cos)′=－sin

2.求下列函数的导数：(1)y=1

(2)y=3x

3x答案：(1) y′=(1－3－3－1－4)′=(x)′=－3x=－3x

3x5

111123(2y(x)(x)xx3

333133.质点的运动方程是s=t3，(s单位m，t单位s)，求质点在t=3时的速度. －解：v=s′=(t3)′=3t31=3t2

当t=3时，v=3×32=27 m/s，∴质点在t=3时的速度为27 m/s 4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=度. 解：v=s′(t)=(12gt，(s单位m，t单位s，g=9.8 m/s2)，求t=3时的速2121－gt)′=g·2t21=gt. 22t=3时，v=g·3=9.8·3=29.4 m/s，∴t=3时的速度为29.4 m/s. 5.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程. －解：y′=(x4)′=4x41=4x3.∴y′|x=2=4·23=32 ∴点P(2，16)处的切线方程为y－16=32(x－2)，即32x－y－48=0

－五、小结

：这节课主要学习了四个公式:①C′=0(C是常数)，②(xn)′=nxn1(n∈R)，

③(sinx)′=cosx，④(cosx)′=－sinx

六、课后作业

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