3.1直线的倾斜角与斜率（通用）课堂实录

直线的倾斜角和斜率教学设计

知识点一

直线的倾斜角

思考1

在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？

思考2

在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？

梳理

倾斜角的概念

(1)在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件

①直线上的一个点．

②这条直线的________．

(2)直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把________(正方向)按定义

________________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角

规定：当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为________

范围

知识点二

直线的斜率

升高量思考1

在日常生活中，我们常用“”表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？

前进量倾斜角α的取值范围为________________

思考2

思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？

梳理

(1)直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的________________叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝________. (2)斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角α(范围)

斜率k

(范围)

k的变化

(3)由两点确定的斜率公式

直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝________________(x1≠x2)．

类型一

直线的倾斜角

例1

设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(

) A．α＋40°

B．α－140°

C．140°－α

D．当0°≤α<140°时，倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，倾斜角为α－140°

反思与感悟

(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．

(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

跟踪训练1

已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．

类型二

直线的斜率

例2

(1)过原点且斜率为斜率为________．

(2)如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又直线l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，3的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的3α＝0°

0<α<90°

α＝____

90°<α<180°

倾斜角越大，直线的斜率k就越大

不存在

倾斜角越大，直线的斜率就越大

定值

不存在

Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

反思与感悟

(1)已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k＝tanα求得．

y2－y1(2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k＝，注意前提条件x1≠x2.x2－x1若x1＝x2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．

1跟踪训练2

经过点P(2，m)和Q(2m,5)的直线的斜率等于，则m的值是(

) 2A．4B．3C．1或3D．1或4 类型三

直线的倾斜角、斜率的应用

命题角度1

三点共线问题

例3

如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．

反思与感悟

斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．

11跟踪训练3

若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．

ab命题角度2

数形结合法求倾斜角或斜率范围

例4

直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．

反思与感悟

(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．

y2－y1(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x≠x)求解．

x2－x112(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．

跟踪训练4

已知点A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．

1．下列图中α能表示直线l的倾斜角的是(

)

A．①B．①②C．①③D．②④

2．已知点A(a,2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为(

) A．a＝3，b＝1 C．a＝2，b＝3 B．a＝2，b＝2 D．a＝3，b∈R且b≠1 3．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(

) A．2 C．－1 B．1 D．－2 14．若三点A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共线，则实数m的值为________．

25．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)

直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：

直线情况

平行于x轴

0°<α<90°

k>0

k随α的增大而增大

0°

0

90°

不存在

垂直于x轴

90°<α<180°

k<0 k随α的增大而增大

α的大小

k的范围

k的增减情况

答案精析

问题导学

知识点一

思考1

不能．

思考2

不同．

梳理

(1)②方向

(2)x轴

逆时针

0°

0°≤α<180°

知识点二

32思考1

不同，因为≠. 22思考2

存在．图(1)中，坡度＝tanα，图(2)中，坡度＝tanβ. 梳理

(1)正切值

tanα

(2)90°

k＝0 y2－y1k>0

k<0

(3)

x2－x1题型探究

例1

D

[根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，

当0°≤α<140°时，直线l1的倾斜角为α＋40°；

当140°≤α<180°时，直线l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.] 跟踪训练1

60°或120°

解析

有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾

斜角为60°.

②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 例2

(1)3 解析

因为直线l的斜率为3，所以直线l的倾斜角为30°，所以直线l′的倾斜角为30°＋330°＝60°，所以直线l′的斜率为tan60°＝3. (2)解

设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．

－1－23－2－2由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等，所以k1＝＝，k2＝＝－－2－354－32－24，k3＝＝0. －3－3由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知，直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°. 跟踪训练2

B m－11－m8－17例3

解

kAB＝＝，kAC＝＝，

4－2－26－24∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，

1－m7即＝，∴m＝－6. 441跟踪训练3

2例4

解

如图所示．

1－03－0∵kAP＝＝1，kBP＝＝－3，

2－10－1∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，

∴45°≤α≤120°.

跟踪训练4

解

如图所示．

当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，kAB＝15所以直线AD的斜率的变化范围是，. 3－213＋25＝，kAC＝＝，3＋473－03当堂训练

1．A

2.D

3.A

4.9275.(0°，90°] 3