3.3.1 两条直线的交点坐标名师教学实录

3.3.1 两条直线的交点坐标

河北肥乡第一中学

庞晓娟

一、教材分析

本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性. 二、教学目标

1．知识与技能（1）直线和直线的交点.（2）二元一次方程组的解.2．过程和方法（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.（2）掌握数形结合的学习法.（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.3．情态和价值（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.（2）能够用辩证的观点看问题.三、教学重点与难点

教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 四、课时安排

1课时

五、教学方法：启发引导式

六、教学过程：

（一）复习准备：

1. 讨论：如何用代数方法求方程组的解? 2. 讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？

（二）讲授新课：

1. 教学直线上的点与直线方程的解的关系：

①

讨论：直线上的点与其方程AX+BY+C=0的解有什么样的关系？

②

练习：完成书上P102的填表.

③

直线L上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。反之直线L的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。

2. 教学两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线的交点坐标

①

讨论：点A（-2,2）是否在直线L1：3X+4Y-2=0上？

- 1 -

点A（-2,2）是否在直线L2：2X+Y+2=0上？

②

A在L1上，所以A点的坐标是方程3X+4Y-2=0的解，又因为A在L2上，所以A点的坐标也是方程2X+Y+2=0的解。即A的坐标（-2,2）是这两个方程的公共解，因此（-2,2）是方程组 3X+4Y-2=0 2X+Y+2=0 的解. ③

讨论：点A和直线L1与L2有什么关系？为什么？

④

出示例1：求下列两条直线的交点坐标

L1：3X+4Y-2=0 L2：2X+Y+2=0

03x4y2解：解方程组



2x2y20

得

x=-2，y=2 所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）

6y42-55x-2-4

变式训练

求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0. 解:解方程组x-2y+2=0, 2x-y-2=0,得x=2, y=2,所以l1与l2的交点是(2,2). 设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x. 点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.

3．教学如何利用方程判断两直线的位置关系？

①

如何利用方程判断两直线的位置关系？

②

两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。因此，只要将两条直线L1和L2的- 2 -

方程联立，得方程组

A1X+B1Y+C1=0A2X+B2Y+C2=0

1．若方程组无解，则L1//L2 2.若方程组有且只有一个解，则L1与L2相交

3.若方程组有无数解，则L1与L2重合

③

出示例2：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。

（1）L1：x-y=0 L2: 3x+3y-10=0 （2）L1：3x-y+4=0 L2: 6x-2y=0 （3）L1：3x+4y-5=0 L2: 6x+8y-10=0 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评. 5x,xy0,3解:(1)解方程组得

53x3y100,y.3所以l1与l2相交,交点是(55,). 333xy40,(2)解方程组6x2y10,(1)

(2)①×2-②得9=0,矛盾, 方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2. (3)解方程组3x4y50,6x8y100,(1)

(2)①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.

引导学生观察三组方程对应系数比的特点：

一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

A1B1唯一解l1l2相交,AB22A1BCA1xB1yC1011l1l2重合,

无穷多解A2B2C2A2xB2yC20ABC无解111l1l2平行.A2B2C2注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用. (b)如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易- 3 -

确定. ④出示例3

求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行的直线方程. 解法一：∵直线2x＋3y＋5=0的斜率为-22，∴所求直线斜率为-.又直线过点A(1，－334)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x＋3y＋10=0. 解法二：设与直线2x＋3y＋5=0平行的直线l的方程为2x＋3y＋m=0，∵l经过点A(1，－4), ∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x＋3y＋10=0. 点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax＋By＋C=0中系数A、B确定直线的斜率.因此，与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m=0，其中m待定.经过点A(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C=0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)=0. 变式训练

经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。

答案：2x+3y-1=0. 点评：此题也可以分两种方法去解。

4. 探究：当变化时，方程3x4y2(2xy2)0表示什么图形？图形有什么特点？

（三）巩固练习：

1、P104面的练习1、2题

（2，3）2、求经过点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l1:x3y40,

l2:5x2y6

03、k为何值时直线l1:ykx3k2与直线l2:x4y40的交点在第一象限

（四）

小结：两条直线交点与它们方程组的解之间的关系. 求两条相交直线的交点及利用方程组判断两直线的位置关系.

（五）作业：课本习题3.3

A组1、2、3、5选做4题

思考：求证：不论m取何实数，直线(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标. - 4 -