3.1直线的倾斜角与斜率（通用）第二课时教案

3.1直线的倾斜角和斜率（一）

教学目的：

1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念

2.理解直线的倾斜角和斜率的定义

3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率 4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角

5.认识事物之间的相互联系，

用联系的观点看问题

教学重点：直线的倾斜角和斜率概念

教学难点：斜率概念理解与斜率公式

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法. 引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要. 在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系.在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口

教学过程：

一、复习引入： 在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：

王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞王新敞1．一次函数的图象特点：一次函数形如ykxb，它的图象是一条直线. 2．对于一给定函数y2x1，作出它的图象的方法：由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可. 3．这两点与函数式的关系：这两点就是满足函数式的两对x,y值. 因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数ykxb的图象是一条直线，它是以满足ykxb的每一对x,y的值为坐标的点构成的. 由于函数式ykxb也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系. 二、讲解新课：

1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线

在平面直角坐标系中研究直线时，就是利用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题.为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率

王新敞王新敞

2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.

当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0°≤＜180°

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示. 倾斜角是90的直线没有斜率

3．概念辨析：为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题. 关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；

D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等. E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞). 王新敞王新敞王新敞辨析：上述说法中，E正确，其余均错误，原因是：A.与x轴垂直的直线倾斜角为，2但斜率不存在；B.举反例说明，120°＞30°，但tan120＝－3＜tan30行于x轴的直线的倾斜角为0；D.如果两直线的倾斜角都是003；C.平3，但斜率不存在，也就谈不上2相等. 说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是0180；③倾斜角是90°的直线没有斜率. 4.已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：

(1)090

0000作出ytan在[0,90)区间内的函数图象；由图象观察可知：当∈[0,90)，0000ytan＞0，并且随着的增大，y不断增大，

|y|也不断增大. 所以，当∈[0,90)时，随着倾斜角的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大. (2) 90180

00作出ytan在(90,180)区间内的函数图象，由图象观O200y00察可知：当∈(90,180)，ytan＜0，并且随着的增大，ytan不断增大，|y|不断减小. 00x

所以当∈(900,1800)时，随着倾斜角的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小. 针对以上结论，虽然有当∈[00,900)，随着增大直线斜率不断增大；当∈(900,1800)，随着增大直线斜率不断增大. 但是当∈[00,900)∪(900,1800)时，随着的增大直线斜率不断增大却是一错误结论. 原因在于正切函数ytan在区间[00,900)内为单调增函数，在区间(900,1800)内也是单调增函数，但在[00,900)∪(900,1800)区间内，却不具有单调性

王新敞三、讲解范例：

例1

如图，直线l1的倾斜角1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率. 分析：对于直线l1的斜率，可通过计算tan30直接获得，而直线l2的斜率则需要先求出倾斜角2，而根据平面几何知识，

21900，后再求tan2即可. 解：l1的斜率k1＝tan1＝tan30°＝yl2l12x0然1O3，

3∵l2的倾斜角2＝90°＋30°＝120°，

∴l2的斜率k2＝tan120°＝tan（180°－60°）＝－tan60°＝3. 评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定. 例2

已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

(1) ＝0°；（2）＝60°；(3) ＝90°；（４）＝分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率. 解：(1)∵tan0°＝0 ∴倾斜角为0°的直线斜率为0；

(2)∵tan60°＝3 ∴倾斜角为60°的直线斜率为3；

(3)∵tan90°不存在 ∴倾斜角为90°的直线斜率不存在；

3

43＝tan()＝－tan＝－1，

4443∴倾斜角为π的直线斜率为－1. 4(4)∵tan

四、课堂练习：

1.直线l经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是(

) A.55

B.

C.或 D.－

444442.过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(

) A.1

B.4

C.1或3

D.1或4 3.已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是

. 4.已知M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是

. 5.已知O(0，0)、P(a,b)(a≠0)，直线OP的斜率是

. 6.已知P当x1x2时，直线P当x1x2且1(x1,y1),P2(x2,y2)，1P2的斜率k = ；y1y2时，直线P1P2的斜率为 ,倾斜角为 .