3.1.2 导数的概念优质课教案整理

3.1.2导数的概念

安宁一中 杨仕良

一、教材与学情分析

导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3.1.2的内容,

是在学生学***均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率

问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度

ff 函数的平均变化率

--→

函数的瞬时变化率lim（即导数）

x0xx

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平

，制定如下教学目标和重、难点

二、

教学目标

1、知识与技能：

通过具体的实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，能求简单函数的导数。

2、过程与方法：

①

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力

②

通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法

3、情感、态度与价值观：

通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 三、

重点、难点



重点：导数概念的形成，导数内涵的理解



难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵

通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点

四、

教学设想（具体如下表）

教学环节

创设情景

、

引入新课

教学内容

师生互动

设计思路

1.回顾上节课所学知识；

2.继续深入探究上节课高台跳水问题：

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在0t65这段时间里49的平均速度，并思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

根据学生的认知水平,概念的形成分了两

个层次：



结合跳水问题，明确瞬时速度的定义

问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时

速度，如t=2时刻的瞬时速度？

问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算v值？

Δt

-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ……….

初

步

探

索

、

展

示

内

涵

h(2t)h(2)的tv

….

Δt

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……. v

…

首先回顾上节课所学知引起学生的好奇，意识到平识，并引导学生就上节均速度只能粗略地描述物课的问题进行探究：

体在某段时间内的运动状在学生相互讨论，交流态，为了能更精确地刻画物结果的基础上，提出

：体运动，我们有必要研究某大家得到运动员在这段个时刻的速度即瞬时速度。

时间内的平均速度为

“0”，但我们知道运动使学生带着问题走进课堂，员在这段时间内并没有激发学生求知欲

“静止”。为什么会产生

这样的情况

呢？

提出问题一，组织学生讨论，引导他们自然地理解导数的内涵是本节课想到选取一个具体时刻的教学重难点，通过层层设如t=2，研究它附近的平疑，把学生推向问题的中均速度变化情况来寻找心，让学生动手操作，直观到问题的思路，使抽象感受来突出重点、突破难点

问题具体化

学生对概念的认知需要

借助大量的直观数据，帮助学生体会从平均速度所以我让学生利用计算出发，“以已知探求未知”器，分组完成问题二，

的数学思想方法, 培养学生

的动手操作能力

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问题三：当Δt趋于样的变化趋势？

Δt

v

-0.1 -12.61 -0.01 -13.051 -0.001 -13.0951 -0.0001 -13009951 -0.00001 -13.099951 ………. …. 0时，平均速度有怎1、展示学生计算结果，组织学生观察，讨论平均速度的变化趋势，引

Δt

导学生说出：在t=2时v

刻,Δt趋于0时，平均

0.1 -13.59 速度趋于一个确定的值

0.01 -13.1-13.1，即瞬时速度，体49 会逼近思想；

0.001 -13.12、为了表述方便,数学049 中用简洁的符号来表示

0.0001 -13.1即0049

0.00001 -13.100049

……. …

给学生充分的时间思考和讨论，慢慢引导学生说出他们的发现，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美

h(2t)h(2)lim13.1

t0t

引导学生继续思考:运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示? 学生意识到将t0代替2,可类比得到

通过形象生动的逼近思想来定义t0时刻的瞬时速度,更符合学生的认知规律,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法

问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？



借助其它实例，抽象导数的概念

问题五：气球在体积v0时的瞬时膨胀率如h(t0t)h(t0)

t0tlim类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移,何表示呢？

寻找不同实际背景下的数r(v0v)r(v0)

lim

学共性，即对于不同实际问v0v题，瞬时变化率富于不同的实际意义

在前面两个问题的铺垫引导学生舍弃具体问题的问题六：如果将这两个变化率问题中的函下,进一步提出，我们这实际意义,抽象得到导数定由易到难、由数用f(x)来表示，那么函数f(x)在里研究的函数f(x)在义,由浅入深、xx0处的瞬时变化率如何呢？

xx0处的瞬时变化特殊到一般，帮助学生完成了思维的飞跃；同时提及导

率数产生的时代背景，让学生f(x0x)f(x0)f感受数学文化的熏陶，感受limlimx0x0xx数学来源于生活，又服务于即yf(x)在xx0生活。

处的导数,记作

f(x0x)f(x0)x0x(也可记为yxx)

f(x0)lim0第

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例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等

不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时候，原油温度（单位：c）

为f(x)x27x15(0x8)

步步设问，引导学生深（1）计算第2h和第6h时，原油温度的入探究导数内涵

瞬时变化率，并说明它的意义。

（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

循步骤： 序①启发学生根据导数定义，再分别求出渐f(2)和f(6)

进②既然我们得到了第2h和第6h的原油温、度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说延明它的含义吗？

伸

③大家是否能用同样方法来解决问题二？

拓④师生共同归纳得到，导数即瞬时变化展

率，可反映物体变化的快慢

练习：

发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。在教学中以具体问题为载体,加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用

（1）求yx2在x1处的导数；

1（2）求y在x1处的导数.x归纳总结

、

内化知识

作业安排、板书设计

1、瞬时速度的概念

2、导数的概念

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般

熟悉导数的概念，掌握根据学生独立完成，上台板定义求函数导数的一般步演，再次体会逼近思想，骤。

熟悉导数的概念。

引导学生进行讨论，相互补充后进行回答，老师评析，并用幻灯片给出

让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯

优化设计：基础巩固

1.平均变化率

2.瞬时变化率幻灯片

（导数的概念）

3.函数求导的步骤

例题解析

作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因材施教

板书设计清楚整洁,便于突出知识目标

学生板演

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