2.1.4 平面与平面之间的位置关系第二课时教案

2.1.4 平面与平面之间的位置关系

一、教学目标

1.通过直观感知、操作确认的方法理解两个平面的位置关系；

2.会用文字语言、符号语言、图形语言表示两个平面的位置关系；

3.培养和发展几何直觉，运用图形语言、符号语言进行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力。

二、教学重点与难点

重点：平面与平面之间的位置关系。

难点:用图形语言表示两个平面的位置关系、两个平面相交时,交线的作法。

三、教学过程: （一）复习引入

空间几何体各式各样，千姿百态，如何认识和把握它们呢？一般的方法是，从构成几何体的基本元素——点、直线、平面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系。通过学习，我们知道空间中直线与直线的位置关系有：共面直线（相交直线、平行直线）、异面直线；空间中直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线在平面外（直线与平面相交、直线与平面平行），那么平面与平面的位置关系有哪些呢？

（二）探究新知

生活中处处给我们以平面与平面位置关系的形象，譬如教室的天

花板与地面的关系、左面与地面的关系等等。我们也可以通过动手操作直观的感受平面与平面的位置关系。

问题1：它们之间的位置关系有几种？

师生活动：学生回答有平行、相交。

师生活动：请你摆放出这两种位置关系的模型。

师生活动：摆放这两种位置关系的模型。

问题2：下面这两个平面之间有什么位置关系？

师生活动：学生回答相交。

追问：这两本书既没有公共点又感觉不平行，为什么说它们是相交的呢？

师生活动：因为平面是无限延展的，所以这两本书所在的平面是相交的。

问题3：如图，围成平行六面体ABCDABCD的六个面，两两之间的位置关系有几种？

D1C1A1DB1CAB

师生活动：平行、相交。

总结：通过生活实例以及对平行六面体模型的观察、思考，我们可以看出，两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

（1）两个平面平行；

（2）两个平面相交。

问题4：两个平面平行如何定义？

师生活动：学生回答两个平面没有公共点时，两个平面平行。

追问：直线与直线平行，直线与平面平行也是这样定义的吗？

师生活动：当直线与平面没有公共点时，直线与平面平行；当直线与直线没有公共点时，直线与直线平行或异面。

两个平面平行的图形语言如图,画两个互相平行的平面时,为了突出直观性,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行；

两个平面平行的符号语言是α//β。

问题5：两个平面相交如何定义？

师生活动：两个平面有公共点时，两个平面相交。

追问：这里的“有”该怎么理解？

师生活动：“有”应该是“存在”的意思。

问题6：用定义判断两个平面是否相交，可行性如何？

师生活动：只需要找到一个公共点，可行性强。

追问1：当两个平面相交时，公共点有几个？它们是如何分布的。

师生活动：有无穷多个，分布在一条直线上。

追问2：有依据吗? 师生活动：有，公里3。即如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。教师引导根据公理3，两个平面相交时公共点的轨迹是一条直线，因此两个相交平面的图形语言如图所示：

看不见的线用虚线表示，符号语言记为：αβl,或αβEF。（三）理解应用

例1 如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线,并动手摆出这两个图形语言表达的模型：

（1）线段AB没有被平面α遮挡；

AaB

（2）线段AB被平面α遮挡。

AaB

设计意图:把两个相交平面的图形语言转化为现实中的模型,培养学生的空间想象能力。

例2 已知平面α，β,直线a,b,且α//β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?你能用模型摆放它们的位置关系并用学过的定义，定理或者公理证明你的操作结果吗？

设计意图:把题设中几何元素之间位置关系的符号语言转化为图形语言,培养学生运用图形语言、符号语言进行交流的能力;本题考查了两个平面的位置关系的定义,从高维(面面位置关系)到低维(线线位置关系)的转化。

例3 一个平面把空间分成几部分?两个平面把空间分成几部分? 三个平面把空间分成几部分?你能用图形语言给出这些结论吗? 设计意图:本题考查了学生的空间想象能力,以及把空间想象能

力转化为用图象语言表达的能力, 也可引导学生类比低维的一个问题:一条直线把平面分成几部分? 二条直线把平面分成几部分?三条直线把平面分成几部分?因此本题也在两个平面位置关系的基础上,考查了分类讨论的思想,以及类比联想、降维的数学思想方法。

（四）课堂小结

1、本节课在知识上，你有什么收获吗？

2、在探究平面与平面之间的位置关系的过程中，你获得了哪些思想方法？

3、对于本节课的学习，你还有什么疑惑吗？

（五）课堂检测

练习：如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E,F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线。

(1)过点G及AC；(2)过三点E,F,D1。