3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学实录与评析

数学是打开科学大门的钥匙——培根

3.1.1倾斜角与斜率（必修2，P82-86）

一、学习目标

1.能说出直线的倾斜角的概念，倾斜角与斜率之间的关系；

2.能运用斜率的概念求相应的直线倾斜角的斜率，并会运用斜率公式解决简单的问题。

二、问题引入

问题1：在平面直角坐标系中，过点P的直线有多少条？ 条

确定直线位置的几何要素：一是直线上的一个定点，另一个则是直线的

问题2：如图所示，在平面直角坐标系中，过点P的直线共有4种情形，这些直线的区别在哪里？用什么量描述它？

ypypypypoxoxoxox （1） （2） （3） （4）

问题3：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？在右图中：

________三、知识建构

1、倾斜角：

升高量

前进量定义1：当直线l与x轴相交时，我们取 轴作为基准，x轴 向与直线l向 方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。倾斜角的范围是： 。

规定:当直线l与 时，倾斜角为00；当直线l与x轴垂直时, 倾斜角为 。

练习1.请标出问题1图中4种情形下直线的倾斜角。

练习2.如图所示，则直线l的倾斜角= 。

2、斜率

定义2：我们把一条经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)直线的倾斜角的 值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母k来表示，即：k= = .（其中 ）

一个重要的公式：tan180tan

3、倾斜角与斜率的关系

2yO2x第

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完成下列表格：



tan

0°

30°

45°

60°

90°

120

135

150



倾斜角

斜率k

000

00900

900

9001800

当0时，斜率k＝________。

00当090时，斜率k为_____（正、负）数，且斜率k随着倾斜角的增大而 。

当90时，斜率k___________。

当90180时，斜率k为_______（正、负）数，且斜率k随着倾斜角的增大而 。

四、反馈练习

1. 在左图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3

的大小关系为

2.如图所示的直线的倾斜角正确的是

( ) 000

3.已知一条直线的倾斜角α=45°,则该直线的斜率等于

(

) 22A. B. - C. 1 D. -1 4.一条直线的斜率等于 , 则此直线的倾斜角等于

. 2235.若一条直线过(1,3),(2,5)两点,则此直线的斜率为

.

6.求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α.

（1）P1(-2,3)，P2(-2,8)；

（2）P1(5,-2)，P2(-2,-2).

五、知识迁移

题组一：

例1.（书P85例1）已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直第

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线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。

变式训练：

1.如果过点P2,m和Qm,4的直线的斜率等于1，那么m的值为（ ）

A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 2.已知点P(3,1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为 。

3. 若Aa,2，B5,a1，C1,3三点共线且aN，则a

。

*题组二：

2.（书P85例2）在平面直角坐标系中，画出经过原点，且斜率分别为 1，-1，2及-3的直线l1,l2,l3,l4.

五、知识小结

1.倾斜角的定义；2.斜率的定义及公式；3.倾斜角与斜率的关系. 六、课后练习

1.已知点P1,1，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角的最大值为（

）

A．135

B．90

C．45

D．30

☆2.已知直线l经过点M0,2，且与线段AB相交，且点A1,4，B3,1。

（1）求直线AM与BM的斜率；（2）求直线l的斜率k的取值范围。

变式：已知直线l经过点M0,2，且与线段AB相交，且点A1,4，B2,5，求直线l的斜率k的取值范围。

y 1

x O 1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定（必修2，P86-89）

一、学习目标：

1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；

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2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力。

重点：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. 难点：会运用条件判断两直线是否平行或垂直. 二、知识建构

1.探究1：如图，设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，倾斜角为和，

①若l1//l2，则



tan

tan

，即k1

k2

②反过来若k1=k2时，直线l1和l2的位置关系是

。

2.探究2：如图，如果l1l2，=+

。

tan=tan()=1k1k2

。

αyl2l1βOx反过来，是否成立？

3.小结：判断两条直线平行或垂直的方法：

两条不重合的直线l1、l2

l1、l2的斜率分别为k1、k2

l1∥l2

l1⊥l2

注：（1）斜率不存在的两直线_________。

（2）斜率不存在的直线与k0的直线___________。

三、反馈练习：

1.已知直线l1的斜率为0,且直线l1∥l2,则直线l2的倾斜角为

(

) A.0°

B.135°

C.90°

D.180°

2.直线l1,l2满足l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为30°,则直线l2的倾斜角为____________. 3.直线l1过点A(0,3),B(4,-1),直线l2的倾斜角为45°,则直线l1与l2的位置关系是____________. 4.直线l1过A(-2,m)和B(m,4),直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,则m=____________. 四、知识迁移

题组一：

1.已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论。

变式：已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。

题组二：

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1.已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD 的形状,并给出证明。

变式：已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC 的形状。

题组三：

1．直线l1，l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k3kb0的两根，若l1l2，则2b_____；若l1//l2，则b_____。

2.已知点A（-2，-5），B（6，6），点P在 y 轴上，且APB为直角，求点P的坐标。

四、知识小结

1.不重合直线l1 ,

l2平行的等价条件:

l1∥l2

⇔

2.对两条直线垂直的条件: (1)直线的斜率存在时, l1⊥l2则



,即k1·k2 =-1. k2k1k2,或1290.1k1(2) k1,k2中一个不存在,一个为0 ⇒ l1⊥l2. 注：解决直线垂直的问题时,不要忽略斜率不存在的情况. 五、课后练习

已知A（0，3），B（-1，0），C（3，0），求D点的坐标，使得四边形ABCD为直角梯形（A，B，C，D按逆时针方向排列）

3.2.1 直线的点斜式和斜截式方程（必修2，P92-94）

一．学习目标：

1、能说出直线的点斜式方程的特征并能运用“直线的点斜式方程”解决相关的问题；

2、能说出直线的斜截式方程的特征并能运用“直线的斜截式方程”解决相关的问题。

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重点：理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围. 难点：能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程. 二、知识回顾：

1. 过两点P1(x1, y1)，P2(x2, y2)的直线的斜率为______________

2. 过两点P0(x0, y0)，P (x, y)的直线的斜率为______________

三. 知识建构：

1.若直线l经过点P0(x0, y0),且斜率为k，则l的方程是：______________（点斜式方程）；

思考: (1)当倾斜角为0时，l的方程为______________； o (2)当倾斜角为90时, l的方程为______________。

o

注意：(1)直线方程的点斜式只能表示斜率存在的直线；

（2）x轴的方程为______________,y轴的方程为______________。

2．若直线l与y轴交点为(0, b),且斜率为k，则l的方程是：_______________，其中b叫做直线l在

y轴上的__________,该方程叫做直线的____________方程（注意：函数不是数，零点不是点，截距不是距离）

3.判断：（1）直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？

（2）直线在Y轴上的截距和直线与Y轴交点到原点的距离是一回事吗？

四、知识迁移

题组一：（会写出直线的点斜式和斜截式方程）

1.直线l经过点P0(2,3)，且倾斜角45，

（1）求直线l的点斜式方程（2）求直线l的斜截式方程和在直线l在y轴上的截距。（3）在坐标系中画出直线l。2. 写出下列直线的方程：

（1）经过点A（3，-1），斜率是2； （2）经过点C（0，3），且与x轴垂直；

（3）经过点D（-4，-2），倾斜角是120. （4）斜率是-2，在y轴上的截距是第

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00

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4.

题组二：（能根据直线方程求出直线的斜率和截距）

1．填空题：

(1)已知直线的点斜式方程是yx1,那么此直线的斜率是 ，倾斜角是 。

(2)已知直线的点斜式方程是y23(x1), 那么此直线的斜率是 ，倾斜角是 。

2．已知直线的点斜式方程为y32x1，则此直线的斜率是________，在y轴上的截距为____。

题组三：（直线平行与垂直的条件）

变式：1.已知直线l过点P（1，2），且与直线y2x3平行，则该直线的方程是 _____ 。

2.已知直线l过点P（1，2），且与直线y2x3垂直，则该直线的方程是

__________。

题组三：（直线系过定点问题）

1.方程y(x2)经过定点

2.方程yx2经过定点 3.方程yx21经过定点 五：小结：

1) 直线方程的两种形式： 点斜式：_________________ 斜截式：______________ 2) 点斜式和斜截式都是在斜率存在时方可用。

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例2：已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,试讨论：(1) l1//l2的条件是什么? (2) l1l2的条件是什么?

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3）两直线平行与垂直的条件：对于直线l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2, (1) l1∥l2⇔k1=k2,且______. (2) l1⊥l2⇔_______. 课后练习：

1.写出满足下列条件的直线方程：

（1）斜率是 ，经过点A（8，-2）

（2）经过点A（-2，0），且与X轴垂直

（3）斜率为-4，在Y轴上的截距为-7 33y2x1垂直，且在Y轴上的截距为4 （4）与直线 （5）已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．

12.过点（2，-3）其倾斜角等于直线

yx的倾斜角的2倍，求这直线的点斜式。

3l1:yx2a与直线 l2:y(a2)x2平行，则a=____. 3.若直线 2

4．已知直线l经过直线m：y(x2)1所经过的定点，且l在y轴上的截距为-1，求直线l的方程。

3.2.2 直线的两点式、截距式和一般式方程（必修2，P95-99）

一．学习目标：

1.掌握直线方程的两点式和一般式

2.掌握两点式方程的特例---截距式

3.了解二元一次方程与直线对应关系。

重点：1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围. 2.掌握中点坐标公式. 难点：通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.

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二.知识建构

1.阅读课本95-100页，完成表格：（直线方程的几种形式）

名称

点斜式

条 件

过点P,斜率0(x0,y0)为k

式

过点两点式

图像

yP(x0,y0)Ox方 程

应用范围

k存在

斜截y(0,b)Oxykxb

k存在

yP1xP1(x1,y1),P2(x2,y2)其中（x1x2，y1y2）

在x轴上的截距为a,在

k存在

OP2截距式

y(0,b)(a,0)Oxk存在且

y轴上的截距为b，其中

a0，b0

k0且不过原点

一般

式

2.在x轴上的截距：直线与x轴交点的

，在y轴上的截距: 直线与y轴交点的

3.线段中点坐标公式：已知两点A（x1,y1），B（x2,y2）,则线段AB的中点坐标为_________ 4.二元一次方程AxByC0

（A，B不同时为零）表示直线的一般式

(1)当B≠0时，方程可化为____________这是直线的斜截式方程，它表示斜率是_______________ 在y轴上的截距是 __________ (2)当B=0时，方程为________________________ 二、知识迁移

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题组一：根据下列条件，求直线方程：

1.求

（1）过点P（2 , 1），Q（0，-3）的

直线方程为________________________________

（2）过点A(1,5),P2(4,2)的直线方程为________________________________ 2.求过下列两点的直线的方程：

（1）A(a,0),B(0,b),其中a0，b0直线方程为________________________________

变式：（1）直线过点A(2,0),B(0,3) 直线方程为________________________________ (2)在x轴上的截距为2,在y轴上的截距为3的直线方程为______________________ （3）直线过点A(2,0),B(0,3)； 直线方程为________________________________ （4）在x轴，y轴上的截距分别为-5、

6；直线方程为________________________________ 题组二：

已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

题组三：

1.把直线l的一般式方程x2y60化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。

2.求下列直线的斜率以及在（1）3xy50y21O123y轴上的截距，并画出图形。

x； （2）y

21xy145。

y21O123xO123x第

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3.求过点A（4，2），且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程。

四、课后练习

1.已知直线l的方程为3x4y120，分别求直线l的方程，使

l满足：

（1）过点（-1，3），且与l平行 （2）过点（-1，3），且与l垂直

2.直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过定点（-3，4） （2）与直线6xy30垂直

''3.3.1 两条直线的交点坐标（课本P102-P104）

一、学习目标

1、理解求两条直线交点的思想方法，即解方程组的方法；

2、能正确通过求解方程组来判断两条直线的位置关系；

3、探究过定点直线系的方程，并会进一步应用。

二、知识建构

1、直线x20与直线3y0的交点坐标

第

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2、已知直线l1:A1xB1yC10, l2:A2xB2yC20，如何判断这两条直线的位置关系？

探究：点的坐标与直线方程的关系：看下表，并填空

几何元素

点A

直线l

点A在直线l上

直线l1与l2的交点是A

代数表示

A(a,b)

l:AxByC0

理解总结：用代数方法求两条直线的交点坐标，就是联立两条直线方程求得的解。

3、利用求交点坐标的方法，判断两条直线的位置关系：将两条直线方程联立，得方程组

A1xB1yC10

AxByC0222①

若方程组有唯一解，则两条直线

②

若方程组无解，则两条直线

③

若方程组

，则两直线重合. 三、知识迁移

题组一（判断两条直线的位置关系）

1.

(课本103页例1)求下列两条直线的交点坐标：

l1:3x4y20，

l2:2xy20

2.（课本103页、例2）判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：

（利用方程组的解的个数判断直线的位置关系）

①

l1:xy0

l2:3x3y100

②

l1:3xy40，l2:6x2y10

③

l1:3x4y50l2:6x8y100

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小结：两条直线相交的判定方法

方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交

方法二：两直线斜率都相存在且斜率不等

方法三：两直线的斜率一个存在，

另一个不存在

题组二.

求过两条直线交点的直线问题

1.直线l经过原点，且经过另两条直线2x3y80,xy10的交点，则直线l的方程。

2.求经过两条直线2x3y30，xy20的交点，且与直线3xy10平行的直线l的方程。

小结：方程组法：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程。

题组三（直线系方程探究）

1.

探究：当k变化时，方程3x4y2k(2xy2)0表示什么图形？图形有何特点？（取k0,1,1,2，在同一坐标系中画图试试看.）

问题：把交点代入原方程，会有什么结果？

不管k如何变，交点2,2都在直线上. 即方程3x4y2k(2xy2)0经过定点

，

y01x第

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这个点与两条直线3x4y20，2xy20有什么关系？

结论：

已知直线l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20相交，则方程

A1xB1yC1kA2xB2yC20

kR表示过l1与l2交点的直线(不包括l2).

2. 当a取不同实数时，直线xy2a(xy)0恒过的定点是（

）

A、(1,1)

B、(2,3)

C、(1,)

D、(2,0)

3. 直线(21)x(3)y(3)0,(R)恒过的定点为：

12

四、知识巩固

1.已知直线l1的方程为l1:Ax3yC0，直线l2的方程为2x3y40，若l1,l2的交点在y轴上，则C的值为

2.若三条直线2x3y80,xy10,xky0相交于一点，则实数k的值等于

3.不论a为何实数，直线l:(a2)x(a1)y2a恒过一定点，则此定点的坐标为

4.已知直线l经过直线3x4y20与2xy20的交点P，且垂直于直线x2y10，求直线l的方程。

3.3.2 两点间的距离（课本P104-106）

一、学习目标

1、掌握直角坐标系内两点间的距离公式；

2、通过两点间距离公式的推导，体会数形结合的优越性；

3、体会事物之间的内在联系，能用几何方法解决代数问题。

二、知识建构

1.

已知P,1)，P2(3,4)，求PP1(112

. 第

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2、已知平面上两点，P1(x1,y1)，P1，P2的距离PP2x2,y2，如何求P12？

如图，从点P2M2，

1，P2分别向y轴和x轴作垂线PN11和P垂足分别为N10,y1和M2(x2,0).直线PN2M2相

11与P交于点Qx2,y1. M22P2(x2,y2)y x N1P1(x1,y1)PP在RtPQP12中，12PQQP2. 122Q(x2,y1)PQx2x1，QP2

，

1所以PP122

，

由此得到P1(x1,y1)，P2x2,y2两点间的距离公式：

（1）平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式：|P1P2|=

（2）点P(x0,y0)到原点的距离公式：|PO|

三、知识迁移

题组一

1.

求下列两点间的距离：

①

A(6,0)，B(2,0)，AB

②C(4,4)，D(0,1)，CD

2.

已知点A(a,5)与B(0,10)间的距离是17，求a的值。

3．（课本105页，例3）已知点A(1,2),B(2,7),在x轴上求一点P，使PAPB，并求PA的值.

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4.（课本105页，例4）证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 证明：以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A0,0.设Ba,0，Db,c，由平行四边形的性质得点C的坐标为

. 因为AB

，CD

，

22yDACBxAD

，BC

，

AC

，BD

，

所以ABCDADBC

22222222ACBD

所以ABCDADBCACBD

5.已知ABC的三个顶点坐标是A(1,1),B(1,3),C(3,0)

（1）判断ABC的形状。

（2）求ABC的面积。

小结：利用两点间距离公式可以判定三角形的形状，从三边长入手，如果边长相等则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理则是直角三角形。

题组二

1.

光线自点A（-3,3）射出，经过x轴反射后经过点B（2,5），求光线自点A到点B所经过的路程长度。

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22222222

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2.

已知点A(1,2)、B（-2,3），在x轴上找一点P，使|PA|+|PB|的值最小。

三、知识巩固

1.已知三角形的三个顶点分别为A(3,1),B(3,3),C(1,7)，证明：ABC为等腰直角三角形。

2.已知点A(3,5),B(2,15),在直线l:3x4y40上找一点P，使得|PA||PB|最小，并求其最小值。

3.3.3—3.3.4 点到直线的距离

一、学习目标

1、了解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；

2、理解两平行直线的距离可以转化为点到直线距离；掌握两平行直线间的距离公式；

3、会利用公式解决直线中的距离相关问题。

二、知识建构

1、求下列点到直线的距离：

①点P2,4到直线l:x0的距离d

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数学是打开科学大门的钥匙——培根

②P2,4到直线l:y3的距离d

③P2,4到直线l:3x4y50的距离d

点到直线的距离公式：

一般地，已知点P(x0,y0)，直线l:AxByC0A,B不同时为0，

点P到直线l的距离公式：d|Ax0By0C|AB22

三、知识反馈

1.（课本107页，例5）点P,2到直线l:3x2的距离d

. 012. 点B1,0，到直线l:3xy30的距离d

3.

点A2,3，到直线l:3x4y30的距离d

4.

点C1,2，到直线l:4x3y0的距离d

四、

知识迁移

题组一

1.

(课本107页，例6) 已知点A1,3，B3,1，C1,0，求ABC的面积.

y4321AB3h12C-1Ox2. 已知直线l1:3x4y130，l2:3x4y70，两直线是否平行，如果平行，如何求出l1与l2之间的距离？

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数学是打开科学大门的钥匙——培根

两平行直线间的距离公式：

平行直线l1:AxByC10和l2:AxByC20之间的距离d

题组二、

求下列两条平行直线间的距离：

1.

①2x3y80与2x3y180之间的距离d

②

3x4y10与3x4y0之间的距离d

③

3x4y20与6x8y50之间的距离d

④

3x4y20与6x8yC0的距离等于1，则C

22.

求平行于直线xy20，且与它的距离为22的直线的方程；

3.小结

①点P(x0,y0)，直线AxByC0，求点P到直线l的距离：d

②平行直线AxByC10，AxByC20的距离：d

五、

知识巩固

1.若点(4,a)到直线4x3y0的距离不大于3，则a的取值范围是（

）

131A.(0,10)　　B.[3,4]　　C.[,]　　D.(,0)[10,)

331.求过点A(1,2)，且与原点的距离等于2的直线方程。

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