2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系课堂实录

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系

编

黄世超

整体设计

教学分析

空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系. 三维目标

1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.进一步培养学生的空间想象能力. 重点难点

正确判定直线与平面的位置关系. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入) 一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路2.(事例导入) 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？

图1 推进新课

新知探究

提出问题

①什么叫做直线在平面内？

②什么叫做直线与平面相交? ③什么叫做直线与平面平行? ④直线在平面外包括哪几种情况? ⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系. 活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. ②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. ③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. ④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. ⑤

直线在平面内

aα

直线与平面相交

a∩α=A

直线与平面平行

应用示例

a∥α

思路1

例1 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如图2,

图2 我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；

A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；

A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确；

l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B 变式训练

请讨论下列问题：

若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3

解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面.

例2 已知直线a在平面α外，则（

）

（A）a∥α

（B）直线a与平面α至少有一个公共点 （C）aα=A （D）直线a与平面α至多有一个公共点

随堂练习

1以下命题（其中a,b表示直线，a表示平面）

①若a∥b，bÌa，则a∥a

②若a∥a，b∥a，则a∥b ③若a∥b，b∥a，则a∥a

④若a∥a，bÌa，则a∥b 其中正确命题的个数是

（ A ）

（A）0个

（B）1个

（C）2个

（D）3个

2.已知a∥a，b∥a，则直线a，b的位置关系

①平行；②垂直不相交；③垂直相交；

④相交；⑤不垂直且不相交.

其中可能成立的有

（

D

）

（A）2个

（B）3个

（C）4个

（D）5个

3.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定是（

C ）

（A）平行

（B）相交

（C）平行或相交

（D）AB Ìa

4.已知m，n为异面直线，m∥平面a，n∥平面b，a∩b=l，则l （

C

）

（A）与m，n都相交

（B）与m，n中至少一条相交

（C）与m，n都不相交

（D）与m，n中一条相交

例2 若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是( ) A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交

C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线

分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交.

图7 例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D. 答案：D 变式训练

若直线aα,则下列结论中成立的个数是( ) (1)α内的所有直线与a异面 (2)α内的直线与a都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a平行的直线

A.0 B.1 C.2 D.3 分析：∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A. 如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.

图9 答案：A 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维. 课堂小结

本节主要学***面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. 另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 作业

课本习题2.1 A组7、8.