1.2.3 空间几何体的直观图教学设计第二课时

1.2.3

空间几何体的直观图

预习课本P16～18，思考并完成以下问题

1．画平面图形的直观图的步骤是什么？

2．画简单几何体的直观图的步骤是什么？

3．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？

[新知初探]

1．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，

两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．

(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．

(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示．

[点睛]

(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°(

) (2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变(

) 答案：(1)×

(2)×

2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(

)

解析：选A

由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．

3.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为________．

解析：由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3. 1∴S△ABC＝×6×3＝9. 2答案：9

[典例]

画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．

[解]

(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．

1(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴2的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②. (3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.

在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．

[活学活用]

画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．

解：(1)画轴．如图①，建立平面直角坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，其中∠x′O′y′＝45°. (2)描点．如图②，在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y轴上截取O′D′1＝OD，过点D′作D′C′∥x′轴，且D′C′＝DC. 2(3)连线．连接B′C′，A′D′. (4)成图．如图③，四边形A′B′C′D′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图．

[典例]

画出一个上、下底面边长分别为1,2，高为2的正三棱台的直观图．

[解]

(1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝的下底面的直观图．

(3)画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画

法得上底面的直观图△A′B′C′. (4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC-A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．

画空间图形的直观图的原则

(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．

(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变．

3.连接BC，CA，则△ABC为正三棱台2

(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．

(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．

[活学活用]

如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

解：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′. (3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．

(4)成图．连接PA′，PB′，PC′，PD′，A′A，B′B，C′C，D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.

直观图的还原与计算

[典例]

如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是(

) A．14

C．28

B．102 D．142 [解析]

∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，

∴原图形是一个直角梯形．

又A′D′＝4，

1∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28. 2[答案]

C

平面多边形与其直观图面积间关系：

一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直＝[活学活用]

已知△ABC是正三角形，且它的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(

) A.C.32a

462a

8B.D.32a

862a

162S

4原．解析：选D

由于S△ABC＝所以S△A′B′C′＝S△A′B′C′322a，且＝，

44S△ABC2236S△ABC＝×a2＝a2. 44416