3.1.3 导数的几何意义教学设计

课题

课时

§3.1.3导数的几何意义

（第

1

课时）

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

教学

2．理解曲线的切线的概念；

目标

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。

教学重点：导数的几何意义的理解，导数与切线的斜率的关系；

教学重、

教学难点：导数的几何意义的理解，导数与切线的斜率的关系，用图像来加深对导数几何难点

意义的理解．

教学

多媒体课件

准备

一、导入新课：

（一）导数的概念

（二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？

二、讲授新课：

（一）曲线的切线及切线的斜率：

教学过程

观察：如图3.1-2，当P,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，n(xn,f(xn))(n1割线PPn的变化趋势是什么？

图3.1-2

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

（2）曲线在某点处的切线：

①与该点的位置有关; ②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; ③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)lim应用：

1、求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim点(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程. 2、导数与切线的关系：

(1)f'(x0)0,切线与x轴正向的夹角为锐角；

(2)f'(x0)0,切线与x轴正向的夹角为钝角；x0x0f(x0x)f(x0)k

xf(x0x)f(x0)k

，得到曲线在x(3)f'(x0)=0,切线与x轴平行.

（三）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变

化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，

即: f(x)ylimx0f(xx)f(x)

x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（四）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数

（3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一。

三．典型例题

例1求曲线f(x)=x³+2x+1在点(1,4)处的切线方程

解：klimf(x0x)f(x0)f(1x)f(1)limx0x0xx(1x)32(1x)1(13211)limx0x

5x3(x)2(x)3limx0xlim[53x(x)2]5x0切线的方程为y45(x1),即y5x1.

例2（课本例3）

如图，它表示人体血管中药物的浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图形。估计t=0.2，0.4，0.6，0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作t0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：k0.480.911.4

1.00.7所以

f(0.8)1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

t

药物浓度瞬时变化率f'(t)

例3 求曲线

f(x)0.2 0.4 0.4 0 0.6 -0.7 0.8 -1.4 13xx25

在x=1处的切线的倾斜角. 3f(x0x)f(x0)f(1x)f(1)lim解：

tanαlim

x0x0xx11(1x)3(1x)25(15)3lim3x0x1(x)3x1lim3lim[(x)21]1x0x03x33α[0,π)απ切线的倾斜角为π.

44例4

y=x³在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标. 解：设点P的坐标为

(x0,x03)

f(x0x)f(x0)(x0x)3(x0)3=lim

3=lim

x0x0xx3x02x3x0(x)2(x)3=lim

x0x=lim[3x023x0x(x)2]3x02

x03x02=3x01

∴P点的坐标是(1,1)或(-1,-1).

例5．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h(x)4.9x26.5x10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．

解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）

当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

（2）

当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0，所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减．

（3）

当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x6.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．

四．课堂练习

1、课本第79页练习

2、求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线方程；

五．课堂小结：

1、导数的几何意义

2、求曲线的切线方程

六．布置作业：

2曲线f(x)=x³在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在点A处的切线方程.

§3.1.3导数的几何意义

（一）曲线的切线及切线的斜率

（二）导数的几何意义

（三）导函数的概念

板书设计

（四）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

例1、例2、例3、例4、例5 练习

求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；

导数的几何意义是后面导数应用的基础，教学时需结合图形进行分析，以教学反思

让学生更好地理解和把握这一结论。“以直代曲”是后面单调性与导数关系的基础，教学时可结合多媒体进行图像放大展示，使学生理解在切点附近，曲线与切线非常接近。