1.1 一元二次方程优秀教学设计内容

《1.3一元二次方程的根与系数的关系》

中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。

【知识与能力目标】

使学生掌握一元二次方程根与系数关系，并初步应用．

【过程与方法目标】

不断提高学生呃观察分析及推理运用能力．

【情感态度价值观目标】

使学生进一步了解事物都是相互制约得辩证唯物主义关系以及由特殊到一般在有一班到特殊的思想方法．

【教学重点】

根与系数的关系与应用．

【教学难点】

根与系数的发现与准确掌握．

◆

教学过程

一、复习回顾

回顾一元二次方程一般式及求根公式让学生认识求根公式反映了根与系数关系(强调a≠0) 引言：一元二次方程求根公式反映了根与系数关系吗？一元二次方程还有其他的根与系数关系吗？

我们说有：今天我们就讲一元二次方程的根与系数关系．

引出新课，板书课题．

二、新知探究——观察与发现

学生活动一：观察下面这些二次项系数不为“1”的一元二次方程，找找它们的根与各系数之间还有之前的关系吗？

方程

x2-2x=0

x2-3x-4=0

x2-5x+6=0

观察方程的特点

学生答：二次项系数为1有是为了研究问题的方便，我们把二次项系数为1的方程设为x22+px+q=0的形式，同学们归纳总结x1，x2与x+px+q=0系数的关系x1+x2=-px1x2=q．

2板书型如x+px+q=0的方程的两根x1，x2那么x1+x2=-px1x2=q．

x1

x2

x1+x2

x1x2

学生活动二：出示小黑板，解下列方程并观察x1+x2，x1x2与a，b，c的关系．

方程

2x2+x-3=0

x1

x2

x1+x2

x1x2

5x2-9x-2=0

2x2+3x-2=0

3x2+11x+6=0

学生观察方程的特点并归纳总结x1+x2，x1x2与a，b，c的关系．

2板书型如ax+bx+c=0的方程的两根x1，x2那么x1+x2=-bc，x1x2=，这就是一元二次方程aa的根与系数的关系，同学们探索如果已知a，b，c我们可求出x1，x2在a，b，c，x1，x2是否已知3个量就可以求出其他3个量呢，看下面的问题．

三、了解历史：谁是韦达？

韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。

生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。

韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”

四、例题与讲解

例、求下列方程两根的和与两根的积．

22(1)x+2x-5=0；(2)2x+x=1 思考：需要解方程吗？

判断：下面的结论是否正确？

1.设x1和x2是一元二次方程x2+5x+6=0的两个根，则x1+x2=5

2.设x1和x2是一元二次方程x2-3x=1的两个根，则x1∙x2=1 3.设x1和x2是一元二次方程x2+2x+3=0的两个根，则x1∙x2=3.

学生练习1 (1)x-3x+1=0

(2)2x-9x+5=0

(3)4x-7x+1=0

(4)2x+3x=0

2(5)6x-1=0

2222(6)3x-2x=-2

(7)3x=1

教师讲解同时归纳运用根与系数应注意哪些．

1、化成一般式．

2、二次项系数化1．

3、不要漏掉“—“．

2学生练习已知方程3x-19x+m=0的一根是1，求另一根及m的值．

22(学生板演) 变式与练习

例1 变式：设x1，x2是方程x2＋2x－5＝0的两个根，不解方程，求下列各式的值。

11 (2)x12x22 x1x2x2x1 x1x2(1)(3)(x11)(x21) (4)例2 已知方程x2mx40的一个根是1，求它的另一个根及m 的值。

练习3 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。

五、课堂小结

今天这节课你学到了什么，由学生完成，教师适当讲解．

作业P23页1、2题．

拓展提高：

设x1，x2是方程x-2(k-1)x+k=0的两个实数根，且x1+x2=4，求k的值。

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