7.3 三元一次方程组及其解法教学实录及点评

*7.3 三元一次方程组及其解法

教学目标

一、基本目标

1．使学生认识三元一次方程组，并会解三元一次方程组．

2．使学生感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握三元一次方程组的解法．

【教学难点】

三元一次方程组如何化归到二元一次方程组．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P37～P40的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是

(

D

) x－y＝1A.y＋z＝0xz＝22

1B.y＋z＝21z＋x＝6

1＋1＝1x

a＋b＋c＋d＝1C.a－c＝2b－d＝3

m＋n＝18D.n＋t＝12t＋m＝0环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) (一)代人法解三元一次方程组

x＋y－z＝0，①【例1】解方程组：2x－3y＋2z＝5，②x＋2y＋z＝13.③

【互动探索】(引发学生思考)三元一次方程组与二元一次方程组有什么区别？解三元一次方程组的基本思路是什么？

【解答】(1)由①，得z＝x＋y.④

4x－y＝5，将④代入②、③，消去z，得

2x＋3y＝13.x＝2，解得

y＝3.

把x＝2，y＝3代入④，得z＝2＋3＝5. x＝2，所以原方程组的解为y＝3，z＝5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解三元一次方程组时，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法，将其转化为二元一次方程组进行解答．

(二)加减法解三元一次方程组

3x＋4z＝7，①【例2】解方程组：2x＋3y＋z＝9，②

5x－9y＋7z＝8.③【互动探索】(引发学生思考)方程①只含x、z，因此，可以由②③消去y，得到一个只含x、z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．

【解答】②×3＋③，得11x＋10z＝35.④

3x＋4z＝7，①与④组成方程组

11x＋10z＝35.x＝5，解得

z＝－2.

1把x＝5，z＝－2代入②，得y＝. 3x＝5，1所以原方程组的解为y＝3，z＝－2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解三元一次方程组时，若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，

否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．下列方程组中不是三元一次方程组的是

(

D

) x＝5A.x＋y＝7

x＋y＋z＝6x＋3y－z＝1C.2x－y＋z＝33x＋y－2z＝5

x＋y＝3B.y＋z＝4z＋x＝2

x＋y－z＝7D.xyz＝1x－3y＝4

2．已知关于x的代数式ax2＋bx＋c，且x＝－1时，代数式的值为－1；x＝0时，代数式的值为2；x＝1时，代数式的值为3.则a＝－1，b＝2，c＝2. 3．解下列方程组：

x＋y＋z＝26，(1)2x－y＋z＝18，x－y＝1；x＝10，解：(1)y＝9，z＝7.

x＋y＋z＝10，(2)2x＋3y＋z＝17，

3x＋2y－z＝8.x＝3，(2)y＝2，z＝5.

4．某校初中三个年级共有651人，八年级的学生比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级多5%，求三个年级各有多少人？

解：设七、八、九年级的学生人数分别为x人，y人和z人．

x＋y＋z＝651，由题意，得y＝z1＋10%，x＝y1＋5%，x＝231，解得y＝220，z＝200.

所以七、八、九年级的学生人数分别为231人，220人和200人．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：

农作物品种

每公顷需劳

动力(人)

每公顷需投入

资金(万元)

水稻

棉花

蔬菜

4

8

5

1 1 2 已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？

【互动探索】本题中的等量关系：水稻投入资金＋棉花投入资金＋蔬菜投入资金＝67；水稻需要劳动力＋棉花需要劳动力＋蔬菜需要劳动力＝300；水稻种植面积＋棉花种植面积＋蔬菜种植面积＝51. 【解答】设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷．

x＋y＋2z＝67，由题意，得4x＋8y＋5z＝300，x＋y＋z＝51，x＝15，解得y＝20，z＝16.

即应种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 三元一次方程组的概念三元一次方程组三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用练习设计

请完成本课时对应练习！