三角形中的垂直平分线教学内容

3 线段的垂直平分线

第1课时

线段的垂直平分线

教学目标

一、基本目标

1．掌握线段的垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题．

2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理．

【教学难点】

证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P22～P23的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

2．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

3．如图所示，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB＝10 cm，则BD＝5 cm；若PA＝10 cm，则PB＝10 cm.

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(

)

A．5 cm

C．15 cm

B．10 cm

D．17.5 cm

【互动探索】(引发学生思考)△DBC的周长等于哪些线段的和？利用线段的垂直平分线的性质可以将△DBC的周长转化为哪些线段的和(差)关系？

【分析】由题意可知，△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35 cm.∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BC＋AD＋CD＝35 cm.又∵AC＝AD＋DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15(cm)．

【答案】C 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．

【例2】

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：

(1)FC＝AD；

(2)AB＝BC＋AD.

【互动探索】(引发学生思考)(1)要证FC＝AD，结合已知和图形可以考虑证三角形全等得到结论；(2)要证AB＝BC＋AD，观察这三条线段在图形中的位置关系，考虑运用转化思想将其进行转化到一条边上．

【证明】(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD. (2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.又∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD. 【互动总结】(学生总结，老师点评)由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可利用它证明线段相等．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝EC，点B、D、C、E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是(

C

) A．AB＋DB>DE

B．AB＋DB

C．AB＋DB＝DE

第1题

第2题

D．无法判断

2．如图所示，等腰三角形ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连结BE，则∠EBC的度数为36°. 3．如图所示，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长为12 cm，求BC的长．

解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋AE，即为△ADE的周长．又∵△ADE的周长为12 cm，∴BC＝12 cm. 活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．

【互动探索】先利用角平分线的性质得出DE＝DF，再证Rt△AED≌Rt△AFD，从而可证AD垂直平分EF. 【解答】AD垂直平分EF.证明如下：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°.在Rt△ADE和Rt△ADFAD＝AD，中，∵

DE＝DF，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF，∴AE＝AF，∴直线AD垂直平分线段EF. 【互动总结】(学生总结，老师点评)当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 性质定理线段的垂直平分线

判定定理

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时

三角形三边的垂直平分线及尺规作等腰三角形

教学目标

一、基本目标

1．理解并掌握三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

2．能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线．

3．已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形．

二、重难点目标

【教学重点】

作已知线段的垂直平分线．

【教学难点】

垂直平分线的应用．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P24～P26的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．通过阅读理解教材P24例2得出：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

2．如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(

B

)

A．6

C．4

B．5

D．3 3．如图所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连结BE，则∠CBE等于(

C

)

A．80°

C．60°

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．

B．70°

D．50°

【互动探索】(引发学生思考)售票中心的位置有什么特征？(三个娱乐项目到售票中心的距离相等)→怎样确定售票中心？(利用垂直平分线上的点到三边的距离相等解决问题) 【解答】如图，连结AB、AC，分别作线段AB、AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则P即为售票中心．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了线段垂直平分线的性质，难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．

【例2】在△ABC中，点O为边AB、AC的垂直平分线的交点，请写出∠BOC和∠A的数量关系并说明理由．

【互动探索】(引发学生思考)三角形三边的垂直平分线有什么特征？(到三个顶点的距离相等)→怎样求∠BOC和∠A的数量关系？(作辅助线，得到等腰三角形，从而得到角之间的关系) 【解答】∠BOC＝2∠A.理由如下：连结OA.∵点O为边AB、AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠OBA＋∠OCA＝∠A.又∵在△ABC中，∠OBC＋∠OCB＝180°－(∠OAB＋∠OBA＋∠OAC＋∠OCA)＝180°－2∠A，

∴在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(180°－2∠A)＝2∠A，即∠BOC＝2∠A. 【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了“线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等”和“等边对等角”，以及三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．如图所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(

B

)

A．△ABC的三条中线的交点

B．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条角平分线的交点

D．△ABC三条高所在直线的交点

2．如图，已知△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝100°.

3．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O.求证：OA＝OB＝OC.

证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD垂直平分BC.∵AB的垂直平分线与AD交于点O，∴OB＝OC＝OA(三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)．

4．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°. (1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连结BE.求证：EF＝2DE.

(1)解：如图所示，直线l即为所求．

(2)证明：在Rt△ABC中，∵l为线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠ABC＝60°，∴∠EBA＝∠A＝30°，∴∠AED＝∠BED＝60°，∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∴BE为∠ABC的平分线．又∵ED⊥AB，EC⊥BC，∴ED＝EC.在Rt△ECF中，∵∠FEC＝∠AED＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2EC，∴EF＝2ED.

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

练习设计

请完成本课时对应练习！