多边形的外角和优秀教学设计

课题

2.三角形的内角和与外角和

知识技能

教

学

目

标

数学思考

问题解决

情感态度

教学重点

教学难点

授课类型

(续表)

教具

教学

步骤

量角器、三角板、直尺、多媒体

教学活动

师生活动

请回顾下列知识点：平角的定义，平行线的性质，并完成下面的问题：

设计意图

授课人

了解三角形的内角和、外角和及其性质.

经历探究三角形内角和是180°的过程以及外角性质的探索.

学会运用简单的说理来计算三角形相关的角.

培养学生的实践能力和观察总结能力，体验主动探究的成功和快乐.

探索三角形的内角和定理及三角形的外角性质.

三角形内角和、外角和的探索过程. 新授课

课时

回顾

图9－1－81 已知：如图9－1－81，点B，A，E在同一直线上，∠1＝∠B. 试说明：∠C＝∠2. 证明：∵∠1＝∠B(

)，

∴AD∥BC(

)，

∴∠C＝∠2(

). 【课堂引入】

(多媒体展示)实践出真知，想一想、议一议：如图9－1－82，假如你正站在金字塔下，现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能否想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法．(课件)

为讲解本节课知识做铺垫. 活动

一：

创设

情境

导入

新课

图9－1－82 创设情境，激发学生的求知欲，引导学生主动探索和解决问题，引入新课.

看图读题，并思考怎样做，在小组内交流．小组汇总意见，推荐代表发言——可以测出侧面三角形底边的两个角后，求出塔尖处的侧面角. 师：我们已经知道三角形按角来分，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，那么三角形的三个内角有什么关系呢？引入新课. [探究1] 三角形的内角和

1.量一量：一副三角板的每个角各是多少度？一个三角板三个内角的和各是多少？

2.猜一猜：任意一个三角形的三个内角和都相同吗？它是多少度呢？

3.动动手，仔细观察：

(1)拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？

(2)观察：小组内观察比较，会得出什么结论？

4.你能设计一种方案来说明你的结论吗？即三角形的三个内角的和为180°. (课件出示两种基本的说理方法) 教师点拨：三角形的内角和定理的证明方法很多，但不管哪种方法其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同旁内角互补”来解题.

1.体现启发式教学，每位学生都能参与课堂，循序渐进，充分调动学生的积极性和探索的精神. 2.学生通过观察、思考、讨论、分析的过程，体验探究三角形内角和的方法. 活动

二：

实践

探究

交流

新知

(续表)

5.几种常见的验证方法的辅助线作法．

经过师生的合作交流，归纳出如下的解题方法：

活动

二：

实践

探究

交流

新知

3.通过动手图9－1－83 操作、实验6．于是可得定理：三角形的内角和等于180°. 说明，逐步学生活动：将事先准备好的三角形的三个角拼合在一起，培养学生的并观察思考，可能得出什么结论．分组交流与研讨，并抽合作意识，一名学生说一说本组的方法．

降低学习难教师活动：指导拼合形成平角．深入参与活动、指导、倾度，培养多听学生交流，引导多种方法说明．在测量、拼图等感性活元化的思维动的基础上，引导学生添加辅助线．

方式，让学[探究2] 直角三角形的性质与判定

生体验到数(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．

学活动充满探索.

图9－1－84 如图9－1－84所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那

么∠A＋∠B＝90°. (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．

如图9－1－84所示，在△ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么∠C＝90°，即△ABC是直角三角形．

师生共同探究：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角的和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形的定义可知，该三角形为直角三角形．

[探究3] 三角形的外角

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

外角的特征有三个：

(1)顶点在三角形的一个顶点上．

(2)一条边是三角形的一边．

(3)另一条边是三角形某条边的延长线．

把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角，可以得到：一个三角形有六个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论不同顶点处的三个外角的性质．

图9－1－85 如图9－1－85，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能说明你的结论是正确的吗？

解：∵∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝180°－∠4，∠1＝180°－∠4，∴∠1＝∠2＋∠3. 把结论归纳成语言为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

探究得到结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

(续表)

活动

二：

实践

探究

交流

新知

4.了解三角形的[探究4] 三角形的外角和

外角和等于360°，1．做一做

为后面学习多边在一张白纸上画出如图9－1－86所示的图形，把∠1，形做铺垫．渗透数∠2，∠3剪下来拼在一起，看看会出现什么结果，你形结合的数学思能说说理由吗？

想方法，提高学生的说理能力.

图9－1－86 2.说一说

在上图中，∠1＋________＝180°，∠2＋________＝180°，∠3＋________＝180°，三式相加可以得到∠1＋∠2＋∠3＋________＋________＋________＝________①，而∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝________②，把①和②作比较，你能得到什么结论？

3．你还有更好的说理方法吗？

江西省九江市，庐山以雄、奇、险、秀闻名于世，富有独特的值和旅游观赏价值．素有“匡庐奇秀甲天下”之美誉，与鸡公山暑胜地．于1996年12月6日被批准列入《世界遗产名录》，英【应用举例】

图9－1－87 例1

如图9－1－87是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°的方向，B岛在A岛的北偏东80°的方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

分析：

(1)由C岛在A岛的北偏东50°方向，可知∠DAC＝__50__°. 又由B岛在A岛的北偏东80°方向，可知∠DAB＝__80__°. 从而可得∠CAB＝__30__°. (2)由C岛在B岛的北偏西40°方向，可知∠CBE＝__40__°. (3)从图形信息，知AD与BE的位置关系是__互相平行__，由此可推出∠DAB＋∠ABE＝__180__°，∠ABE＝__100__°，∠ABC＝∠ABE－∠CBE＝__60__°. (4)由三角形内角和定理，在△ABC中，有__∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝90°__. (5)如图9－1－87，如果过点C作CF∥AD交AB于点F，那么CF与BE的位置关系是__互相平行__．理由：__如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条线也互相平行__. 活动

三：

开放

训练

体现

应用

通过例题教学使学生养成说理的思维习惯，培养学生的逻辑能力、论证能力.

(6)由CF∥AD可以推出∠ACF＝__∠DAC__＝__50__°. 又由CF∥BE可以推出∠BCF＝__∠CBE__＝__40__°，

从而∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝__90__°.

图9－1－88 例2

如图9－1－88，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝46°. (1)你会求∠DAE的度数吗？

(2)你能发现∠DAE与∠B，∠C有什么关系吗？

(3)若只知道∠B－∠C＝20度，你能求出∠DAE的度数吗？

(续表)

分析：(1)∠DAE是哪个三角形的内角或外角？

(2)△ADE中，已知什么？要求出∠DAE，只需求什么？

(3)∠AED是哪个三角形的外角？

(4)在△AEC中已知什么？要求∠AEB，只需求什么？

(5)怎么样求∠EAC的度数？

引申：(1)还有其他方法求∠DAE的度数吗？

活动

三：

开放

训练

体现

应用

1(2)你能说明为什么∠DAE＝(∠B－∠C)吗？

2【拓展提升】

图9－1－89 例3

如图9－1－89，BD，CD分别平分∠ABC、∠ACB，请你探索∠A和∠D的数量关系．

学生小组合作、分组讨论，探索其中的数量关系．观察图形可以发现，∠A和∠D分别在两个三角形内，分别利用三角形内角和等于180°可以得到：

∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°、∠D＋∠1＋∠2＝180°，

又根据角平分线的定义2∠1＝∠ABC，2∠2＝∠ACB，

1.应用提高、拓展创新，培养学生分析、解决问题的能力以及创新能力．

2．知识的综合与拓展提高应考能力.

于是有2(∠1＋∠2)＝∠ABC＋∠ACB，所以∠ABC＋∠ACB＝2(180°－∠D)，将其代入∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°得到∠A＋2(180°－∠D)＝180°，

1整理得∠D＝90°＋∠A. 2教师重点关注学生对待已解问题与未解问题的对比分析能力；给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到解答方法；鼓励学生大胆猜想，发表见解. 【达标测评】

1.填空题：

(1)在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝__100°__. (2)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，则∠A＝__40°__. (3)在△ABC中，∠A＝40°，∠A＝2∠B，则∠C＝__120°__. (4)在△ABC中，∠A等于直角的一半，∠B等于直角

2的，则∠C＝__75°__. 32.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，求∠A，∠B，∠C的度数. 3.在△ABC中，已知∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝80°，则∠C的度数是(

) A.60°

B．80°

C．100°

D．120°

14.△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝∠C，则∠B＝2__50°__，∠C＝__100°__. 5.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD是∠BAC的平分线，则∠DAC的度数为__40°__.

(续表)

活动

三：

开放

训练

体现

应用

6.如图9－1－90，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°，则∠BDC的度数等于__80°__．

通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.

图9－1－90

图9－1－91 7.如图9－1－91，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1＝72°，则∠2＝__54°__．

8．如图9－1－92，∠α＝125°，∠1＝75°，则∠β的度数是__130°__．

图9－1－92 学生完成达标测评后，教师进行批阅、点评、讲解.

【课堂总结】

1.课堂总结：

(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？

(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！

2.布置作业：

教材P79练习第. 【知识网络】

注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会. 活动

四：

课堂

总结

反思

内角和三角形性质及应用

外角和【教学反思】

①[授课流程反思] 本设计先让学生动手操作以便使学生对三角形内角和形成感性认识，然后再根据拼图说出结论成立的理由，由浅入深，循序渐进，学生易接受．教师引导学生对三角形的三个角进行拼合，可以出现不同的方法，这样才能让学生充分发挥自己的主动性和创新能力. ②[讲授效果反思] 教学过程中注重学生的自主学习，提倡学生“动手做，动脑想，大胆猜，多训练，勤钻研”，通过自我实践，自我思考，自我总结，最终建构起自己的知识．在讲解三角形外角时，要强调“不相邻”．注意方程思想的应用.

提纲挈领，重点突出.

反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.

(续表)

活动

③[师生互动反思]

四：

课堂

总结

反思

从课堂交流和课堂检测来看，学生应加强概念及性质定理的理解和应用．

④[习题反思] 好题题号____________________ 错题题号__________________ 9.1.2“三角形的外角和”导学案

编号

使用时间

小组

姓名

小组评价

教师评价

一、学习目标：

1、掌握三角形外角和的两个性质及三角形外角和定理。

2、会用平行线的性质证明三角形外角和的性质级三角形外角和定理，会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算。

二、自主学习：

1、课前预习教材内容，勾画出重点内容，找出疑惑之处。

2、三角形的内角和等于

°。

3、已知△ABC中，∠A=∠C,∠B=50○,则∠A=

；在△ABC中，

∠A＝∠B＝∠C，则∠A=

，∠B=

，∠C=

. 4、已知，如图，△ABC中，∠A=60○，∠C=50○，则∠ABC=

,∠ABD=

. 思考：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系？

三、新课导学

1、互动探究

探究任务一：三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系

∵∠CBD+∠ABC=180°

（

）

∠C+∠A+∠ABC=180°

(

) ∴∠CBD= ∠

+∠

(

) 总结：1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角

。2、三角形的一个外角

任何一个与它不相邻的内角。

用几何语言描述以上性质：如图，在△ABC中，（1）∠CBD=∠

+∠

；

（2）∠CBD＞∠

、∠CBD＞∠

探究任务二：三角形的外角和

与三角形的每个内角相邻的外角分别有

个，这两个外角是

角，从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。

问题探究：三角形的外角和是多少？结论：三角形的外角和是

。

2、探究升华

例1．已知在△ABC中，∠A＝2∠B-10°，∠B＝∠C+20°。求三角形的各内角的度数。

例2、如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADC，∠ADB的度数。

例3、如图,在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝46°

(1)你会求∠DAE的度数吗?与你的同伴交流。

(2)你能发现∠DAE与∠B、∠C之间的关系吗?

(2)若只知道∠B－∠C＝20°，你能求出∠DAE的度数吗?

四、当堂检测

1、看图口答，求下列图形中∠1的度数。

(1)∠1=

；(2)∠1=

(3) ∠1=

2、在△ABC中，∠A＋∠B=∠C，则△ABC是

三角形。

3、如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=

.

（3）

（4）

（5）

4、如图，D、E分别是AB、AC上的点，若∠A=70°，∠B=60°，则∠ADE的度数是

。

5、如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=70°，∠BAC=60°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数。

30°

1 60°

120°

35°

1 45°

1 50°