正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教案和学案内容

正多边形的有关概念、正多边形与圆教学设计

重庆市荣昌初级中学：罗锡文

联系电话：18996302736

教学内容

1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距

2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．

3．正多边形的画法．

教学目标

【知识与技能】

了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形. 【过程与方法】

结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题. 【情感态度】

学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.

重难点、关键

1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系．

2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．

教学过程

一、情境导入，初步认识

观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.

（1）你能从图案中找出多边形吗？

（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？

【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题（2）的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵AB=BC=CD=DE=EF

∴AB=BC=CD=DE=EF 11BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC 2211

∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD 22

又∴∠A=

∴∠A=∠B

同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半ED径是a，•求正六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是O外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应CF连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

AMB

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于360=60°，•△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

6

因此，所求的正六边形的周长为6a

在Rt△OAM中，OA=a，AM=11AB=a

利用勾股定理，可得边心距

22

OM=a(a)=2122123a 1133×AB×OM=6××a×a=2222

∴所求正六边形的面积=6×3a2

现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．

例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB=如图，∠AOC=30°，OA=[21世纪教育网360=72°，

5

1AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）2

画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；

（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．

（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．

则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．

三、巩固练习

教材P115

练习1、2、3

P116

探究题、练习．

四、应用拓展

例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h

（2）设DN=x，且hDNNF，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

hAB（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

CNhADGEB21世纪教育网F

分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．

解：（1）由AB·CG=AC·BC得h=ACBC86=4.8 AB10

hDNNF10(4.8x)且DN=x

∴NF=

hAB4.810252

则S四边形DEFN=x·（4.8-x）=-x+10x 4.8122512025602360025

=-（x2-x）=-

[（x-）-]=-（x-2.4）2+12 25625121225x2525

∵-（x-2.4）2≤0 ∴-（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号xx

（2）∵h=21世纪教育网

∴当x=2.4时，SDEFN最大．

（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．

∴BE=DE2EF2322.42=1.8

∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．

∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示: CGAFBDEwww.czsx.com.c

此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．

五、归纳小结（学生小结，老师点评）

通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？

【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回顾，教师再予以补充和点评.

六、布置作业

1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取. 2.完成练习册中本课时

练习的“课后作业”部分