三角形中的垂直平分线公开课教案

北师大版八年级数学下册第一章第三节

第2课时

三角形三边的垂直平分线及作图教学设计

五华县华南中学

古斌

教学目标：

1、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理以及三角形三条边的垂直平分线的性质定理，并能运用它们解决相关问题，进一步发展推理证明的意识和能力。

2、能够用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，利用尺规作出等腰三角形。

知识与技能

1. 线段垂直平分线；垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线

2. 直角三角形全等的判断方法：SSS,ASA,AAS,SAS,HL. 3. 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

过程与方法

1. 通过作线段垂直平分线的方法，培养学生的观察能力。

2. 训练学生对线段垂直平分线的知识的运用动手操作能力。

情感、态度与价值观

在引导学生作三角形三边垂直平分线的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解逆定理的思想方法。

教学重点难点

重点：理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题；

难点：如何利用尺规作三角形三边垂直平分线。

教材分析：本节课位于北师大版八年级下册第一章，1.3.线段的垂直平分线内容。使学生知道在学会了线段垂直平分线之后，如何推导出三角形三边垂直平分线的性质定理。通常先利用尺规作图分析，然后再进一步推导出三角形三边垂直平分线的性质定理，进而培养学生综合分析问题的能力。

学习者特征分析：

本班学生基础知识较弱，学生之间个体差异很大，个别学生学习态度不端正，意志力不强，大部分学生好动。

教学策略选择：

学生为主体，根据学生好动的特点，把学习的权利还给学生。集体教学，小组协作、交流。教师启发、点拨

教学方法：合作探究法及引导发现法

媒体选择：多媒体课件、展台、小黑板

教学过程：

一．回顾思考

1、线段的垂直平分线的性质定理和判断定理．

2.线段的垂直平分线的作法．

二、用心做一做

利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发现了什么？

发现：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．

三、实际操作，你又能发现什么？

剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线．

结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．

怎样证明这个结论呢？

点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可．

四、命题：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．

已知：在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点P．

求证：点P也在AC的垂直平分线上．

证明：连接AP，BP，CP.

∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA=PB

同理，PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AB的垂直平分线上，

∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于一点. 五、文字语言

定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

数字符号语言

在△ABC中，

∵c，a，b分别是AB，BC，AC的垂直平分线(已知)，

∴c，a，b相交于一点P，且PA=PB=PC 应用方法：这是一个证明三条直线交于一点的证明根据

六、开拓创新

试一试

分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 结论：锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；

直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；

钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外．

七、动手做一做，小组议一议

（1）

已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？

已知：三角形的一条边a和这边上的高h 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h 这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．

（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？

这样的等腰三角形也有无数多个，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．如图所示，这些三角形不都全等．

（3）已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？

这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．所以满足这一条件的三角形是唯一确定的．

你能尝试着用尺规作出这个三角形吗？

已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h ．

作法：1．作BC=a；

2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；

3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；

4．连接AB、AC

∴△ABC就是所求作的三角形．

八、快乐套餐

已知线段a，求作以a为底，以a/2为高的等腰三角形. 这个等腰三角形有什么特征？

温馨提示：

先分析，作出示意图形，再按要求去作图. 九、回顾一下吧，本节课你学到了什么？

1.证明了定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形

十、作业布置

1.习题1.8第1；2题

2.学考精炼1.8知识点内容。

2．能够利用尺规作出三角形的垂直平分线．

已知，在△ABC中，∠BAC＝110°，点E、G分别是AB、AC的中点，

DE⊥AB交BC于D，FG⊥AC交BC于F，连接AD、AF.求∠DAF的度数．

解析：根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C，根据线段垂直平分线得

出AD＝BD，AF＝CF，推出∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，即可求出答案．

解：在△ABC中，∵∠BAC＝110°，∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°.∵E、G分别是AB、AC的中点，DE⊥AB，

一、情境导入

现在有A、B、C三个新建的小区，开发商为了方便业主需求，打算在所在的区域内建造一座购物中心，要求购物中心到三个小区的距离相等，你能帮购物中心选址吗？

二、合作探究

探究点一：三角形三边的垂直平分线

【类型一】

运用三角形三边的垂直平分线的性质求角度

方法总结：本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用．注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

【类型二】

运用三角形三边的垂直平分线的性质求线段

在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，求MN的长．

解析：首先连接AM，AN，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，可求得∠B＝∠C＝30°.又由AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，易得△AMN是等边三角形，继而求得答案．

解：连接AM，AN，∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，

∴∠C＝∠B＝30°.

∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，

∴AN＝CN，AM＝BM，∴∠CAN＝∠C＝30°，∠BAM＝∠B＝30°，

∴∠ANM＝∠AMN＝60°，∴△AMN是等边三角形，

∴AM＝AN＝MN，∴BM＝MN＝CN.∵BC＝8cm，∴MN＝8

方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．

【类型三】

三角形三边的垂直平分线的性质的应用

某公园有海盗船、摩天轮、

碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．

解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．

解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点P，则P即为售票中心．

方法总结：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．