认识分式方程优质课教案整理

《1 认识分式》教案

第1课时

教学目标

（一）教学知识点

1．在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感．

2．了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系．

3．掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系．

（二）能力训练要求

1．能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养符号感．

2．培养学生认识特殊与一般的辩证关系．

（三）情感与价值观要求

通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心．

教学重难点

教学重点：

1．了解分式的形式A（A、B是整式），并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母；B一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零．

2．掌握分式基本性质的内容，并有意识地运用它化简分式．

教学难点：

1．分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零．

2．分子分母进行约分．

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

［师］我们先试着解答下面的问题：

面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务．原计划每月固沙造林多少公顷？

这一问题中有哪些等量关系？

如果原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；根据题意，可得方程____________．

［生］根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间．（1）

［生］这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数．（2）

［师］这两位同学真棒！在这个问题中，谁能告诉我涉及到哪些基本量呢？它们的关系是什么？

［生］涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间．工作量=工作效率×工作时间．

［师］如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？

［生］因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间．题中的工作量是已知的．因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷．

原计划完成一期工程需2400个月，

x2400个月，

x30实际完成一期工程需c根据等量关系（1）可列出方程：

24002400+4=．

xx30［师］同学们可接着思考：如何用等量关系（2）设未知数，列方程呢？

［生］因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间．不妨设原计划x个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x－4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为24002400公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程xx42400240030．

xx4［师］同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？

［生］我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量．如240024002400，，．这些代数式和整式不同．我们虽然列出了方程，但分母中xx4x30240024002400，，这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以xx4x30含有字母，要求出它的解，好像很不容易．

［师］的确如此．像分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式．

从现在开始我们就来研究分式，相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性，不久的将来，一定会很迅速准确解出上面两个方程．

Ⅱ．讲授新课

1．通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别．

［师］下面我们再来看几个问题：

做一做．

（1）正n边形的每个内角为__________度．

（2）一箱苹果售价a元，箱子与苹果的总质量为m

kg，箱子的质量为n

kg，则每千克苹果的售价是多少元？

（3）有两块棉田，有一块x公顷，收棉花m千克，第二块y公顷，收棉花n千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？

（4）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元．降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？

［生］（1）（3）(n2)180a；（2）元；

nmnmxnyb千克；（4）册．

xyax［师］很好！我们再来看：

议一议．

上面问题中出现了代数式240024002400(n2)180amxnyb，它，，，，，，xx30x4nmnxyax们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？

（分组讨论后回答）

［生］上面的几个代数式的共同特征：

（1）它们都是由分子、分母与分数线构成；（2）分母中都含有字母．

［生］它们与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母，而整式的分母中不含有字母．例如：xx2y，它们都含有分母，但分母中不含字母，所以它们是整式．

904［师］同学们能够结合前后知识理解上述代数式，很好！下面我们给出这种代数式即分式的概念：

整式A除以整式B，可以表示成AA的形式．如果除式B中含有字母，那么称为分式，其BB中A称为分式的分子，B称为分式的分母．

分式中，字母可以取任意实数吗？

［生］不可以．因为分式中分母含有字母，而分母是除式，不能为零．字母的取值就受到制约即字母的取值不能使分母为零，否则，分式就会无意义．

2．例题讲解．

［师］下面我们接着来看：

想一想．

（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

x2xyy2b3m(np)425x－7，3x2－1，，，－5，，，．

2a1775bc2x1（2）①当a=1，2时，分别求分式a1的值．

2a②当a为何值时，分式a1有意义？

2a③当a为何值时，分式a1的值为零？

2a2x2xyy22b3m(np)［生］（1）中5x－7，3x－1，，－5，是整式；，，

72a172x14是分式．

5bc（2）解：①当a=1时，a111==1；

2a21当a=2时，a1213==．

2a224②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义．

由分母2a=0，得a=0．

所以，当a取零以外的任何实数时，分式a1有意义．

2a③分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零．因此a的取值有两个要求：2a0

a10a1为零．

2a所以，当a=－1时，分母不为零，分子为零，分式Ⅲ．随堂练习

巩固分式的概念，讨论分式有意义的条件限制．

1．当x取什么值时，下列分式有意义？

（1）128；（2）2；（3）2

x1x9x1Ⅳ．课时小结

［师］通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）

［生］今天，我们认识了代数式里一个新的成员——分式．

［生］我们从实例中发现了分式和整式的不同的地方：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母，并且还由除式不能为零，即分母不能为零，明白了分式中的字母是有条件约束的，分式中的字母的取值必须保证分母不为零．

［生］……

Ⅴ．活动与探究

x3x151已知x=，求的值

x52第2课时

教学目标

（一）教学知识点

1．分式的基本性质．

2．利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形．

3．了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法．

4．使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式．

（二）能力训练要求

1．能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质．

2．培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力．

（三）情感与价值观要求

通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣．

教学重难点

教学重点：

1．分式的基本性质．

2．利用分式的基本性质约分．

3．将一个分式化简为最简分式．

教学难点：

分子、分母是多项式的约分．

教学过程

Ⅰ．复习分数的基本性质，推想分式的基本性质．

［师］我们来看如何做不同分母的分数的加法：11+．

23

［生］111312325+=+=+=．

232332666［师］这里将异分母化为同分母，1133==，

22361122==．这是根据什么呢？

3326［生］根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变．

［师］很好！分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？

Ⅱ．新课讲解

1．分式的基本性质

（1）31=的依据是什么？

62n2an1（2）你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流．

2a2mnm［生］（1）将33331的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到．即==．

66632依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变．

（2）分式a1aaaa1与相等，在分式中，a≠0，所以==；

2a22a2a2aa2n2n2n2n2nnn分式与也是相等的．在分式中，n≠0，所以==．

mnmmnmnmnnm［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？

［生］分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．

［师］在运用此性质时，应特别注意什么？

［生］应特别强调分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”．

［师］我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形．同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形．

下面我们就来看一个例题．

［例2］下列等式的右边是怎样从左边得到的？

（1）axabby=（y≠0）；（2）=．

2x2xybxb

［生］在（1）中，因为y≠0，利用分式的基本性质，在b的分子、分母中同乘以y，即可2x得到右边，即bybyb==；

2x2xy2xy［师］很好！在（1）中，题目告诉你y≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得．可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？

［生］在（2）中，axaxaxxa可以分子、分母同除以x得到，即==．

bxbxbxxb［生］“x”如果等于“0”，就不行．

在axaxax中，x不会为“0”，如果是“0”，中分母就为“0”，分式将无意义，所以（2）bxbxbxaaxax得到，必须有意义，即bx≠0由此可得b≠0bbxbx中虽然没有直接告诉我们x≠0，但要由且x≠0．

［师］这位同学分析得很精辟！

2．分式的约分．

［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简．利用分式的基本性质也可以对分式化简．

我们不妨先来回忆如何对分数化简．

［生］化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简．例如33331，3和12的最大公约数是3，所以==．

12121234［师］我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简．

［例3］化简下列各式：

a2bcx21（1）；（2）2．

abx2x1［师］在分数化简中，我们约去了分子、分母的公约数，那么在分式化简中，我们应如何办？

［生］约去分子、分母中的公因式．例如（1）中a2bc可分解为ac·（ab）．分母中也含有因式ab，因此利用分式的基本性质：

a2bca2bc(ab)(acab)(ab)===ac．

abab(ab)ab(ab)［师］我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可．这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组讨论．

［生］如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂．

［师］回答得很好．可（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简？

［生］通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式．

［师］这个主意很好．现在同学们自己动手把第（2）题试着完成一下．

x21(x1)(x1)x1［生］解：（2）2==．

2x1x2x1(x1)［生］老师，我明白了，遇到分子、分母是多项式的分式，应先将它们分解因式，然后约去公有的因式．

a2bcx21x1［师］在例3中，=ac，即分子、分母同时约去了整式ab；2=，即分abx2x1x1子、分母同时约去了整式x－1．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分．

下面我们亲自动手，再来化简几个分式．

做一做

化简下列分式：

（1）a(ab)5xy；（2）．

b(ab)20x2y5xy5xy1==；

24x20xy(4x)(5xy)［生］解：（1）（2）a(ab)a=．

b(ab)b［师］在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的：

议一议．

在化简5xy5xy5x时，小颖是这样做的：=

22220xy20xy20x你对上述做法有何看法？与同伴交流．

［生］我认为小颖的做法中，简结果．

［师］很好！5x中还有公因式5x，没有化简完，也就是说没有化成最220x5xy1如果化简成，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最24x20xy简分式．因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式．

Ⅲ．巩固、提高

1．填空：

（1）()2xy21=；（2）2

xy(xy)(xy))y4(2．化简下列分式：

12x2y3xy（1）；（2）．

332(xy)9xyⅣ．课时小结

［师］通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）

［生］数学知识之间是有内在联系的，利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质．

［生］分式的约分和化简可联系分数的约分和化简．

［生］化简分式时，结果一定要求最简．

Ⅴ．活动与探究

实数a、b满足ab=1，记M=11ab+，N=+，比较M、N的大小．

1a1b1a1b