等边三角形的判定优质课教案设计

第一章

三角形的证明

1

等腰三角形

第1课时

全等三角形及等腰三角形的性质

1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理．

2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式．

3．掌握等腰三角形性质定理的推论．

重点

掌握等腰三角形的性质定理及推论．

难点

证明等腰三角形的相关性质．

一、复习导入

1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：

(1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；

(2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

(3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；

(4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；

(5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)．

2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明．

3．回忆全等三角形的性质．

二、探究新知

1．等腰三角形的性质定理

问题1：什么是等腰三角形？

问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来．

问题3：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质．

引导学生得出等腰三角形的性质：

等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”)

问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；方法二：过点A作AD⊥BC于点D；方法三：取BC的中点D. 证法一：取BC的中点D，连接AD.

AB＝ACBD＝CD⇒△ABD≌△ACD⇒∠B＝∠C. AD＝AD证法二：作∠BAC的平分线AD交BC于点D. AB＝AC∠1＝∠2⇒△ABD≌△ACD⇒∠B＝∠C. AD＝AD归纳等腰三角形的性质定理：等边对等角．

用几何语言描述为：

在△ABC中，

∵AB＝AC，∴

∠B＝∠C. 2．等腰三角形性质定理的推论

师：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？

处理方式：引导学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论．

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．

简称为等腰三角形的“三线合一”．

三、举例分析

例

在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．

处理方式：引导学生分析求解方法，学生动手求解并写出过程．

解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，

∴∠ABC＝∠C＝∠BDC , ∠A＝∠ABD. 设∠A＝x，则∠BDC＝∠A ＋∠ABD＝2x，

∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x. ∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，

解得

x＝36°.∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°. 四、练习巩固

1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为(

)

A．2

B．3

C．4

D．5 2．在△ABC和△DEF中，给出以下六个条件：①AB＝DE；②BC＝EF；③AC＝DF；④∠A＝∠D；⑤∠B＝∠E；⑥∠C＝∠F.以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是(

) A．①②⑤

B．①②③

C．①④⑥

D．②③④

3．如图，已知AC＝EF，BC＝DE，点A，D，B，F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________．

错误!

错误!,第4题图) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

求证：(1)△ABD≌△ACD；

(2)BE＝CE. 五、课堂小结

1．等腰三角形的性质定理是什么？

2．等腰三角形性质定理的推论是什么？

六、课外作业

1．教材第3～4页“随堂练习”第1、2题．

2．教材第4～5页习题1.1第1～6题．

本节课根据学生已有活动经验，经历“探索－发现－猜想－证明”的活动过程，使学生自主探究，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果．当然，在探索等腰三角形的性质的活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整．

第2课时

等边三角形的性质

1．了解等腰三角形中线、高线和角平分线的性质．

2．掌握等边三角形的性质．

3．经历等腰三角形的中线、高线、角平分线的性质探索过程，体会性质证明的严谨性．

重点

掌握等边三角形的性质定理．

难点

用等边三角形、等腰三角形的有关性质解决问题．

一、复习导入

在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？

二、探究新知

1．等腰三角形中线、高线和角平分线的性质

(1)引导学生在等腰三角形中自主画出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明．注意给予适度的引导，如可以依次提出问题：

①你可能得到哪些相等的线段？

②你如何验证你的猜测？

③你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；

④还可以有哪些证明方法？

学生通过自主探究和同伴的交流，一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：

①等腰三角形两底角的平分线相等；

②等腰三角形腰上的高相等；

③等腰三角形腰上的中线相等．

并对这些命题给予多样的证明，如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到

了下面的证明方法：

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CE是△ABC的角平分线．

求证：BD＝CE. 证法1：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．

11∵∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，

22∴∠1＝∠2. 在△BDC和△CEB中，

∵∠ACB＝∠ABC，BC＝CB，∠1＝∠2，

∴△BDC≌△CEB(ASA)．

∴

BD＝CE(全等三角形的对应边相等) . 证法2：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB. 又∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠3＝∠4. 在△ABD和△ACE中，

∵∠3 ＝∠4，AB＝AC，∠A＝∠A，

∴△ABD≌△ACE(ASA)．

∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．

(2)请学生思考：除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？

课件出示教材第5～6页“议一议”．

说明：这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．

2．等边三角形的性质

课件出示教材第6页“想一想”．

引导学生得出：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°. 已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC. 求证：∠A＝∠B＝∠C ＝60°.

证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．

同理：∠C＝∠A，∴∠A＝∠B＝

∠C(等量代换)．

又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 三、练习巩固

1．如图，已知△ABC 和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.

2．教材第6页“随堂练习”第1、2题．

四、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

五、课外作业

教材第7页习题1.2第1～4题．

本节课关注了问题的变式与拓广，实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力，但也应注意根据学生的情况进行适度的调整，因为学生先前这样的经验较少，因而对一些学生而言，完成全部这些学习任务，可能时间偏紧，为此，教学中可以适当减少“议一议”一些变式内容，将角的多等分线内容延伸到课外，当然，也可以设计为两个课时，将研究过程进一步展开．

第3课时

等腰三角形的判定

1．探索等腰三角形的判定定理．

2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用．

4．培养学生的逆向思维能力．

重点

掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．

难点

理解和掌握反证法的证明方法．

一、复习导入

问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？

问题2：我们是如何证明上述定理的？

问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？

二、探究新知

1．等腰三角形的判定定理

师：你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗？并与同伴交流．

处理方式：学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法．

已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC. 证法一：过点A作BC的垂线，垂足为D. ∵AD⊥BC ，

∴∠BDA＝∠CDA＝

90°. 在△ABD和△ACD中，

∵∠B＝∠C, ∠BDA＝∠CDA, AD＝AD ，

∴

△ABD≌△ACD (AAS)．

∴

AB＝AC (全等三角形的对应边相等)．

证法二：作∠BAC的角平分线，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中，

∵∠B＝∠C, ∠BAD＝∠CAD, AD＝AD,

∴

△ABD≌△ACD (AAS) . ∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．

(教师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线，规范地写出推理过程，鼓励学生一题多解．) 师指出：作△ABC的边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的．

引导学生归纳等腰三角形的判定定理：

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．

简述为：等角对等边．

2．反证法

课件出示：

在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？

处理方法：学生积极动脑思考，小组交流讨论．

师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(课件出示)

如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．

假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此

AB≠AC. 师：你能理解他的推理过程吗？

师出示“反证法”的定义：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．

三、举例分析

例1

已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形．

证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA ，

∴△ABD≌△DCA.

∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)．

∴AE＝DE(等角对等边)．

∴△AED是等腰三角形．

例2

(课件出示教材第9页例3) 处理方法：学生独立完成，教师点评．

四、练习巩固

1．如果三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是(

) A．钝角三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等边三角形

2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形(

) A．6个

B．5个

C．4个

D．3个

,第2题图)

,第3题图) 3．如图，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，又DE∥BC，交AC于点E，若DE＝4 cm，AE＝5 cm，则AC等于(

)

A．5 cm

B．4 cm

C．9 cm

D．1 cm

五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．

2．教材第9～10页习题1.3第1～4题．

本节课的主要内容是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明．这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一．

第4课时

等边三角形的判定

1．理解等边三角形的两个判定定理及其证明．

2．理解含有30°角的直角三角形的性质及其证明．

3．能利用等边三角形的两个判定定理解决一些简单的问题．

重点

等边三角形判定定理及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．

难点

含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．

一、复习导入

1．等腰三角形的性质有哪些？

2．等腰三角形的判定定理是什么？

师：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？如何判定一个三角形是等边三角形呢？

二、探究新知

1．等边三角形的判定定理

师：一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？

处理方式：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：

性质

判定的条件

等边三

角形

等边对等角

“三线合一”即等边

三角形顶角平分

线、底边上的中

线、高线互相重合

等边三角形三个角都

相等，且每个角都是60°

有一个角是60°的

等腰三角形

三个角都相等的三角

形是等边三角形

2.含30°角的直角三角形的性质定理

师：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形——含30°角的直角三角形．

师：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？并说明理由．

解：能拼出一个等边三角形．

方法1：∵△ABD≌ACD，∴AB＝AC.又∵Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴∠ABD＝60°，∴三角形ABC是等边三角形．

方法2：∵∠B＝∠C＝60，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋30°＝60°，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，即△ABC是等边三角形．

师：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系？有哪些线段存在倍数关系？你能得到什么结论？说说你的理由．

处理方式：如果学生不能很快得出30°角所对直角边是斜边的一半，教师可以要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论．然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理．

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°. 1求证：BC＝AB. 2

分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD. 证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD(如图所示)．

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°. ∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．

∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等)．

∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．

11∴BC＝BD＝AB. 22三、举例分析

例

等腰△ABC的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长．

分析：在Rt△ADC中，AC＝2a，观察图形可以发现∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC＝2×15°＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD. 解：∵∠ABC＝∠ACB＝15°，

∴∠DAC＝∠ABC＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. 11∴CD＝AC＝×2a＝

a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直22角边等于斜边的一半)．

四、练习巩固

1．下列命题：①有两个角相等的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的有________．(填序号) 2．在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，求AB，BC的长．

五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第12页“随堂练习”．

2．教材第12～13页习题1.4第1～5题．

本节课的难点在于探究直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂上学生思维非常灵活，方法多样，取得了较好的效果．

2

直角三角形

第1课时

直角三角形的性质与判定

1．掌握直角三角形的性质定理及判定定理．

2．掌握勾股定理及其逆定理．

3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题．

重点

掌握直角三角形的性质定理及判定定理，勾股定理及其逆定理的证明方法，会识别互逆命题、互逆定理．

难点

勾股定理及其逆定理的证明．

一、情境导入

师：下图是2002年在北京召开的24届国际数学家大会的会标，它的设计灵感来自哪类三角形的知识？

师：本节课就让我们继续学习与直角三角形有关的知识．

二、探究新知

1．直角三角形的性质

师：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？

引导学生得出：

(1)直角三角形的两锐角互余．

(2)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．

(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

师：上节课我们已经证明了定理3，那么你知道定理1、2是如何证明的吗？

师：实际上，我们利用基本事实和已有定理也能够证明勾股定理，请同学们打开教材第16页，阅读“读一读”，了解利用基本事实和推导出的定理，证明勾股定理的方法．

师：(学生阅读完毕后)目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，课下请同学们搜集一下勾股定理证明的方法.

2．直角三角形的判定

问题1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？请说明理由.

问题2：古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距离的结把一根绳子分成等长12段，一个学生同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个学生分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结．你知道这样做的理由吗？你能证明此命题吗？

3．命题的互逆关系

(1)师：观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

如果两个角是对顶角，那么它们相等；

如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.一个三角形中相等的边所对的角相等；

一个三角形中相等的角所对的边相等.师：你能给它们下一个确切的定义吗？

(2)想一想：你能写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？如果一个命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？

师：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们把这两个定

理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．

师：你还能举一些互逆定理的例子吗？

三、举例分析

例

如图，BA⊥DA于点A，AD ＝

12，DC ＝

9，CA ＝

15，求证：BA∥DC.

分析：利用勾股定理的逆定理，证明∠D是直角，再根据同旁内角互补，两直线平行解决．

四、练习巩固

1．已知两条线段的长为3 cm和4 cm，当第三条线段的长为________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．

2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥DC，AD＝8，DC＝6，CB＝24，AB＝26.则四边形ABCD的面积为________．

3.在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9. (1)求DC的长；

(2)求AB的长；

(3)求证：△ABC是直角三角形．

五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第16页“随堂练习”第1～3题．

2．教材第17～18页习题1.5第1～5题．

本节课学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不太准确，部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺，作为教师要关注到学生的个体差异，对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导．使每一个学生都能经历证明的过程，为他们提供充分寻找证明思路的时间、空间和方法，体会证明的必要性．另外学生对于命题成立的证明方法，锻炼他们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距．所以作为教师一定不能急躁，要本着以学生为本的目的，注意学生个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导．

第2课时

直角三角形全等的判定

1．掌握并利用

“HL”定理解决实际问题．

2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形．

3．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力，培养学生思维的灵活性与开放性．

重点

直角三角形“HL”判定定理的理解及运用．

难点

证明“HL”定理的思路的探究和分析．

一、复习导入

1．前面我们学习了判断两个三角形全等的方法，你还记得有哪几种吗？

2．通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以说这两个三角形全等？

3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？

师：如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形全等吗？让我们带着这个问题来继续学习直角三角形．

二、探究新知

1．猜想

师：如果在两个直角三角形中，已知斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？

处理方式：引导学生思考讨论，教师点拨．学生意见会不统一，有的认为全等，有的认为不一定全等．

2．探究

课件出示教材第18页“做一做”．

已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．

已知：如图，线段a，c(a

求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c. 画图过程展示：

(1)作∠MCN＝∠α＝90°；

(2)在射线CM截取CB＝a；

(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；

(4)连接AB，得到Rt△ABC.

思考：通过刚才的画图，你有什么发现？

3．总结

师：你们所画的三角形都有哪些已知的相等量？你能得出什么结论？

板书：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．

4．证明

师：你能证明这个命题是真命题吗？

处理方式：学生先在小组内交流，然后独立写出已知、求证，并证明．完成后教师用多媒体展示学生的证明过程，并及时地评价，同时规范解题过程．

证明过程展示：

已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.

求证：△ABC≌△A′B′C′.

证明：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，

∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．

同理，B′C′2＝A′B′2－A′C′2(勾股定理)．

∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，

∴BC＝B′C′.

∴△ABC≌△A′B′C′

(SSS)．

师：通过以上证明，我们可以得出命题“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是一个真命题．我们把这一定理简述为“斜边、直角边”或“HL”．

三、举例分析

例

(课件出示教材第20页例题)

处理方式：引导学生分析，并能用数学语言清楚地表达自己的想法，教师对学生的回答进行点评，示范解题过程．

分析：本题主要利用“斜边、直角边”定理解决实际问题．依据已知条件，只需证明Rt△ABC≌Rt△DEF，再利用直角三角形的性质即可得出∠B和∠F的大小关系．

解：根据题意，可知∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．

∴∠B＝∠DEF. ∵∠DEF＋∠F＝90°，

∴∠B＋∠F＝90°. 四、练习巩固

1．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来．

2．如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形．

五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第20页“随堂练习”第1、2题．

2．教材第21页习题1.6第1～5题．

本节课讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅使学生进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了他们演绎推理的能力.3

线段的垂直平分线

第1课时

线段的垂直平分线的性质与判定

1．掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理．

2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．

重点

线段的垂直平分线的性质定理、判定定理的理解及应用．

难点

线段的垂直平分线的性质定理、判定定理的证明和应用．

一、情境导入

课件出示：

如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？

分析：线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

二、探究新知

1．线段的垂直平分线的性质

师：你能用公理或学过的定理证明“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”吗？

处理方式：引导学生分析并写出已知、求证的内容．

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点．

求证：PA＝PB. 分析：要证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．

证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．

2．线段的垂直平分线的判定

师：你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

处理方式：引导学生分析证明过程，有如下三种证法．

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上．

证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC.∵PA＝PB，PC＝PC，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC＝BC. 即点P在AB的垂直平分线上．

证法二：取AB的中点C，过点P，C作直线．

∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，

∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，

∴∠PCA＝∠PCB＝∠90°，即PC⊥AB. ∴点P在AB的垂直平分线上．

证法三：过点P作∠APB的角平分线．

∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，

∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°. ∴点P在线段AB的垂直平分线上．

师：从刚才的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称为线段垂直平分线的判定定理．

归纳：

(1)线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合．

(2)到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此只需作出这样的两个点即可作出线段的垂直平分线．

三、举例分析

例

已知：如图，在

△ABC 中，AB ＝

AC，O 是

△ABC 内一点，且

OB ＝

OC. 求证：直线

AO 垂直平分线段BC.

证明：∵ AB ＝

AC，

∴

点

A 在线段

BC 的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．

同理，点

O 在线段

BC 的垂直平分线上．

∴

直线

AO 是线段

BC 的垂直平分线(两点确定一条直线)．

说明：学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法，并给出完整的证明过程．

四、练习巩固

1．如果平面内的点C，D，E到线段AB的两端点的距离相等，则点C，D，E均在线段AB的________．

2．设l是线段AB的垂直平分线，且CA ＝

CB，则点C一定________．

五、课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些新的收获？还有哪些困惑？

六、课外作业

1．教材第23页“随堂练习”．

2．教材第23～24页习题1.7第1～4题．

在本节课的教学中，教师要善于引导学生从问题出发，根据观察：

线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的一条对称轴，先得出猜想：线段的垂直平分线与河边所在直线的交点就是码头所在位置，然后再证明码头到线段的两个端点的距离相等即可．讲解时注意要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学思想方法的强化和渗透．

第2课时

三角形三边垂直平分线的性质

1．能够证明三角形三边垂直平分线的相关结论．

2．能够利用尺规作已经底边及底边上的高的等腰三角形．

重点

掌握三角形三边垂直平分线的性质．

难点

会用所学知识按要求作图．

一、复习导入

活动一：尺规作图作三角形三条边的垂直平分线．

师：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示作图过程)

引导学生得出：

三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．

活动二：下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．

师：这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．

二、探究新知

1．三角形三边垂直平分线的性质

(1)教师引导学生分析，寻找证明方法．

师：我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．我们不妨再来看一下作图过程，或许你能从中受到启示．

通过回顾作图过程，引导学生认同：两直线必交于一点，那么要想证明“三线共点”，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．

(2)师生共同分析，完成证明．

处理方式：讨论结束后，学生书写证明过程．教师点评，注意几何符号语言的规范性．

已知：在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP. 求证：点P在AC的垂直平分线上．

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．

同理PB＝PC. ∴PA＝PC. ∴点P在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．

∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P. 师：从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？

(交点P到三角形三个顶点的距离相等) (3)多媒体演示我们得出的结论：

定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

2．按要求作图

(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？

(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？

(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？

处理方式：学生通过小组讨论得出结论，并尝试作出草图，验证自己的结论．

解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个．

已知：三角形的一条边a和这边上的高h，

求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h.

从上图我们会发现，先作已知线段BC＝a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD＝A1D＝h，连接AB，AC(或A1B，A1C)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．

(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．

说明：不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上排除．

(3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．

已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h. 作法：①作BC＝a；

②作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；

③以点D为圆心，h长为半径作弧交MN于点A；

④连接AB，AC. ∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．

三、练习巩固

1．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是(

) A．三角形三条角平分线的交点

B．三角形三条垂直平分线的交点

C．三角形三条中线的交点

D．三角形三条高的交点

2．已知△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为(

) A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．不能确定

3．等腰Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是________．

4．如图，有A，B，C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置．(要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法)

四、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

五、课外作业

1．教材第26页“随堂练习”．

2．教材第26～27页习题1.8第1～4题．

本节课主要学习“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”和“已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形”，在讲解的过程中从尺规作图、逻辑推理等多层次地理解并证明了定理，学生思维活跃，能够积极参与到学习中来，教学效果较好．

4

角平分线

第1课时

角平分线的性质定理及逆定理

1．会证明角平分线的性质定理及其逆定理．

2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．

3．经历探索、猜想、证明的过程使学生掌握研究解决问题的方法．

重点

会证明角平分线的性质定理及其逆定理．

难点

正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明．

一、复习导入

我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，从折纸过程中，我们可以得出：角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗？

二、探究新知

1．角平分线的性质定理

师：请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE.

证明：∵∠1＝∠2，OP＝OP，

∠PDO＝∠PEO＝90°，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．

说明：教师在教学过程中对有困难的学生要给予指导．

2．角平分线性质定理的逆定理

师：你能写出这个定理的逆命题吗？

引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：

在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

师：它是真命题吗？

你能证明它吗？

强调：没有加“在角的内部”时，是假命题．

处理方式：由学生自己独立思考完成，再全班讨论交流，对困难学生可个别辅导．

证明如下：

已知：如图，在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D，E为垂足，且PD＝PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上．

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO＝∠ PEO＝90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，

OP＝OP，PD＝PE，∴Rt△ODP ≌Rt△OEP(HL定理)．

∴∠POD＝∠POE(全等三角形的对应角相等)．

师：逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理．

三、举例分析

例

如图，

在

△ABC 中，

∠

BAC ＝60°，

点

D 在

BC上，

AD＝10，DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为

E, F, 且DE＝DF, 求DE的长．

处理方式：师生共同分析，写出证明过程．

解：

∵DE⊥AB, DF⊥AC, 且

DE＝DF，

∴

AD平分∠BAC. 又∵∠BAC＝60°，

∴∠

BAD ＝

30°

. 在Rt△ADE中，

∠AED＝90°，

AD＝10,

11∴

DE＝AD ＝× 10 ＝

5. 22四、练习巩固

1．如图，△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AD＝4 cm，则DE的长为(

) A．2 cm

B．3 cm

C．4 cm

D．8 cm

2．如图，AP平分∠BAC，∠C＝90°，若PC＝2 cm

，则点P到AB边的距离是________cm.

3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DM⊥AB，DN⊥AC，求证：BM＝CN. 五、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

六、课外作业

1．教材第29页“随堂练习”第1、2题．

2．教材第30页习题1.9第1～4题．

教学时，采用“实验—猜想—验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意．

第2课时

角平分线性质定理及判定定理的应用

1．角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．

2．培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．

重点

综合运用角平分线的判定定理和性质定理解决几何中的问题．

难点

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．

一、情境导入

1．通过作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？

2．能证明自己发现的结论一定正确吗？

学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明，但最终，教师要引导学生进行逻辑上的证明．

二、探究新知

1．课件出示：

已知：如图，在△ABC中，角平分线BM，CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P.

证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD＝PE. 同理：PE＝PF. ∴PD＝PF. ∴点P在∠BAC的平分线上．

师：在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢？

(PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．) 2．比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理

三边垂直平分线

三条角平分线

三角

形

锐角三角形

钝角三角形

直角三角形

交于三角形内一点

交于三角形外一点

交于三角形

交于斜边的中点

内一点

到三角形三个顶点的

到三角形三边的

交点性质

距离相等

距离相等

三、举例分析

例

如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD＝4 cm，求AC的长；

(2)求证：AB＝AC＋CD.

(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴DE＝CD＝4 cm. ∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC. ∵∠C＝90°，

1∴∠B＝×90°＝45°. 2∴∠BDE＝90°－45°＝45°. ∴BE＝DE. 在等腰直角三角形BDE中

BD＝2DE2＝

4

2 cm(勾股定理)，

∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋4

2) cm. (2)证明：由(1)的求解过程可知，

Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)，

∴AC＝AE. ∵BE＝DE＝CD，

∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD. 四、练习巩固

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2则点D到线段AB的距离为________．

2.如图，已知AD⊥OB于点D，BC⊥OA于点C，AD，BC相交于点E，且EA＝EB.求证：EO为∠AOB的平分线．

3．如图，直线

l1，l2，l3

表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？

五、课堂小结

谈谈你这节课有什么收获？

六、课外作业

1．教材第31页“随堂练习”．

2．教材第32页习题1.10第1～4题．

本节课对学生能力的要求很高，教师要善于利用教材中的典型例题加以发挥，使例题的以点带线、以线带面功能得以体现，达到举一反三的功效．如果课堂时间允许，还可以将该题加以改变，用多种方法证明和求解．