等边三角形的判定优质课教案内容

等边三角形的判定

教学目标

1.理解等边三角形的两个判定定理及其证明. 2.理解含有30°角的直角三角形的性质及其证明. 3.能利用等边三角形的两个判定定理解决一些简单的问题. 重难点

重点

等边三角形判定定理及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明. 难点

含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明. 教学设计

一、复习导入

1.等腰三角形的判定定理？

2.等边三角形的定义？

3. 等边三角形的性质定理

师：回顾上节课我们学习的判定等腰三角形的方法，思考要怎么判定一个三角形是等边三角形？

二、探究新知

由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的判定定理：

三个角都相等的三角形是等边三角形

你能证明这个定理吗？

已知：如图，∠A= ∠

B=∠C. 求证：AB=AC=BC.

证明：

∵

∠A= ∠

B ∴

AC=BC ∵

∠

B=∠C ∴

AB=AC ∴AB=AC=BC. 问题2：如果已知一个三角形是等腰三角形，那它满足什么条件的时是等边三角形？

底和腰相等的等腰三角形是等边三角形. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明吗？

已知：如图，AB=AC ，∠A= 60°. 求证：

AB=AC=BC. 证明：∵AB=AC ，∠A= 60°

∴∠B＝∠C＝(180°－∠A)= 60°

∴∠A= ∠

B=∠C ∴AB=AC=BC. 上面是第一种情形：有一个顶角为60°

第二种情形：有一个底角是60°. 已知：

如图,在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．

AB=AC=BC. 求证：

证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知) ∴∠C=∠B=60°(等边对等角) ∴∠A=60°(三角形内角和定理) ∴∠A=∠B =∠C=60°

∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).

处理方式：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：

性质

判定的条件

等边三

角形

等边对等角

“三线合一”即等边

三角形顶角平分

线、底边上的中

线、高线互相重合

等边三角形三个角都

相等，且每个角都是60°

有一个角是60°的

等腰三角形

三个角都相等的三角

形是等边三角形

2.含30°角的直角三角形的性质定理

师：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形——含30°角的直角三角形. 师：用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？并说明理由. 解：能拼出一个等边三角形. 方法1：∵△ABD≌ACD，∴AB＝AC.又∵Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴∠ABD＝60°，∴三角形ABC是等边三角形. 方法2：∵∠B＝∠C＝60，∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝30°＋30°＝60°，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，即△ABC是等边三角形. 师：在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系？有哪些线段存在倍数关系？你能得到什么结论？说说你的理由. 处理方式：如果学生不能很快得出30°角所对直角边是斜边的一半，教师可以要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论.然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°. 1求证：BC＝AB. 2

分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD. 证明：延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD(如图所示). ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°. ∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS). ∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等). ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形). 11∴BC＝BD＝AB. 22三、举例分析

例

等腰△ABC的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高CD的长. 分析：在Rt△ADC中，AC＝2a，观察图形可以发现∠DAC是△ABC的一个外角，而∠DAC＝2×15°＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD. 解：∵∠ABC＝∠ACB＝15°，

∴∠DAC＝∠ABC＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. 11∴CD＝AC＝×2a＝

a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直22角边等于斜边的一半). 四、练习巩固

1.下列命题：①有两个角相等的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形.其中正确的有________.(填序号) 2.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，求AB，BC的长.

五、课堂小结

通过本节课的学习，谈谈你的收获？

六、课外作业

教材第12～13页习题1.4第1、2题.

教学反思

本节课的难点在于探究直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由于设计了三角板操作的实践活动，有效地突破了难点，因而，课堂上学生思维非常灵活，方法多样，取得了较好的效果.