测试优秀教学设计

21.1

一元二次方程

一、基本目标

【知识与技能】

1．理解一元二次方程及相关概念．

2．掌握一元二次方程的一般形式．

3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．

【过程与方法】

从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．

【情感态度与价值观】

通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．

二、重难点目标

【教学重点】

1．一元二次方程的概念及其一般形式．

2．判断一个数是不是一元二次方程的解．

【教学难点】

能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．解决下列问题：

问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

【解析】设切去的正方形的边长为x

cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.

列方程，得__(100－2x)(50－2x)＝3600__，

化简，整理，得__x2－75x＋350＝0__.①

问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部1比赛共__x(x－1)__场．

21列方程，得__x(x－1)＝28__. 2化简、整理，得

__x2－x－56＝0__.②

归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__. 2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．

3．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__.其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．

环节2

合作探究，解决问题

【活动1】

小组讨论(师生互学) 【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？

(1)x3－2x2＋5＝0；

(2)x2＝1；

13(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；

45(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；

(5)x2－2x＝x2＋1；

(6)ax2＋bx＋c＝0. 【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？

【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2. 1【例2】将方程2x并指出各项系数．

2－x＋2＝5(x－1)化成一元二次方程的一般形式，【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？

【解答】去括号，得x－2x2＋2＝5x－5. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0. 其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7. 【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．

【例3】下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的解？

－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4. 【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？

【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的解．

【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．

【活动2】

巩固练习(学生独学) 1．下列方程是一元二次方程的是(

D

) A．ax2＋bx＋c＝0 C．x3－2x－4＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2) D．(x－1)2＋1＝0 2．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(

A

) A．2

C．0或2

B．0 D．0或－2 【教师点拨】将x＝2代入x2－2mx＋4＝0得，4－4m＋4＝0.再解关于m的一元一次方程即可得出m的值．

3．把一元二次方程(x＋1)(1－x)＝2x化成二次项系数大于0的一般式是__x2＋2x－1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是

__－1__. 【活动3】

拓展延伸(学生对学) 【例4】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？

【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1. ∵(m－4)2≥0，

∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0，

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m2－8m＋17≠0. 环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 是整式方程必须满足只有一个未知数1．一元二次方程的三要素未知数的最高次数是2一般形式：ax＋bx＋c＝0a≠02

2．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．

请完成本课时对应练习！