利用完全平方差公式进行因式分解优质课教学设计

公式法（2）

教学目标

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义.

2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式(字母指数是正整数).

3.使学生清楚地知道提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行因式分解.

经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展学生的逆向思维和推理能力.

1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.

2.通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识.

教学重点难点

【重点】

掌握多步骤、多方法分解因式的过程.

【难点】

学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式.

教学准备

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复***方公式的知识.

讲授新知

导入一: 因式分解是整式乘法的逆过程,逆用乘法公式,我们找到了因式分解的两种方法:提公因式法、运用平方差公式法.还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢?

在前面我们不仅学***方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,而且还学***方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.本节课,我们就要学***方公式分解因式.

由因式分解和整式乘法的关系,大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢? 将完全平方公式倒写: a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2.

由此便得到用完全平方公式分解因式的公式.

[设计意图]

回顾完全平方公式,直入主题,将完全平方公式倒置得到新的分解因式的方法.

导入二: 1.什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提公因式法及运用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式: (1)ax4-ax2 ;

(2)16m4-n4.

解:(1)ax4-ax2=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1).

(2)16m4-n4=(4m2)2-(n2)2

=(4m2+n2)(4m2-n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).

3.我们学过的乘法公式除了平方差公式之外,还有哪些公式? 解:有完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.

这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.

[设计意图]

通过复习以前学过的知识自然地导入用完全平方公式分解因式.

一、用完全平方公式分解因式

和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样,把完全平方公式反过来,就得到: a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2.

从上面的式子来看,两个等式的左边都是三项,其中两项符号为“+”,是一个整式的平方,还有一项符号可“+”可“-”,它是那两个整式乘积的2倍.凡具备这些特点的三项式,就是一个二项式的完全平方,将它写成平方形式,便实现了因式分解.

上面式子左边的特点:(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号,且这两项能写成数或式的平方的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.

上面式子右边的特点:这两数或两式和(或差)的平方.

用语言叙述为:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.

形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.

由因式分解与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法.

[设计意图]

加深学生对完全平方式特征的理解,为后面的因式分解做铺垫.

二、例题讲解

(教材例3)把下列完全平方式因式分解: (1)x2+14x+49; (2)(m+n)2-6(m+n)+9.

〔解析〕

首先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.

解:(1)x2+14x+49 =x2+2×7x+72

=(x+7)2.

(2)(m+n)2-6(m+n)+9 =(m+n)2-2×(m+n)×3+32

=[(m+n)-3]2

=(m+n-3)2.

(教材例4)把下列各式因式分解: (1)3ax2+6axy+3ay2;

(2)-x2-4y2+4xy.

〔解析〕

对一个三项式,首先要仔细观察它是否有公因式,若有公因式,则应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号时,可以先提取“-”号,然后再用完全平方公式分解因式.

解:(1)3ax2+6axy+3ay2

=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2.

(2)-x2-4y2+4xy

=-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2.

[设计意图]

培养学生对完全平方公式的应用能力,让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式,也可以表示多项式.

课堂小结

运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是:

(1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,那么再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式进行适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它因式分解.

(2)在选用完全平方公式分解因式时,关键是看多项式中的第二项的符号,若是正号,则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2;若是负号,则用公式a2-2ab+b2=(a-b)2.