整理和复习优质教案设计

植树问题整理与复习

教学目标：

1、学习“猜测—验证—总结”的方法，习得解决问题的策略，使学生初步体会两端都栽和两端不栽的规律，构建植树问题数学模型。

2、渗透一一对应、数形结合、转化等数学思想方法，让学生经历从实际问题抽象出植树问题模型的过程。

3、让学生自主迁移学会利用策略解决问题，感受数学在日常生活中的广泛应用，能够用数学的方法来解决实际生活中与“植树”有关的问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

重点难点：1、通过动手画等数学活动过程探究出植树问题中间隔数与棵数之间的关系，抽象出植树问题的数学模型。2、把现实生活中类似的问题同化为“植树问题”，应用植树问题的模型灵活解决一些相关的实际问题。

一、准备：

1、呈现完整的解题过程：

谜语：我是游泳家，说话呱呱呱，

小时有尾没有脚，

大时有脚没尾巴。（青蛙）

猜测：出示：如果一只青蛙按顺序依次从第1块石头跳到第6块石头，大胆猜一猜，共需要跳几次？

生猜测。你们猜的对不对呢？需要进行？验证。

验证：6块石头要跳几次呢，我们来请青蛙跳一跳，为了方便，其实可以用画线段图的方法来表示，用一条线段表示青蛙跳的总距离，线段的每个点表示一块石头，两点之间的一段线就是一个间隔，其实青蛙跳的就是2个点之间的间隔。这样一块石头对应一个间隔【师指着说】……这样一一对应，最后一块石头没有对应的间隔，所以6个石头之间只有5个间隔，因此跳的次数比石块数少1，只需要跳5次。

反思总结：在解决这个跟间隔有关的问题时，我们经历了先大胆猜想，再通过画线段图来验证，最后总结出了规律。这种学习的思想方法将在我们今天的学习中起到非常大的作用。

（上课开始，师生相互问好。）

二、揭题预备

1、学习内容：植树问题

2、学习要求：

（1）会解决植树问题；（2）会用“猜想—验证—归纳”的策略解决问题；（3）积极参与学习过程。

师：今天我们的学习内容是植树问题，对同学们的要求是能用“猜想—验证—归纳”的策略解决问题，并积极的参与到我们得学习中来，同学们能办到吗？

生：能！

师：好，今天的问题是由学校绿化队的同学们给我们带来的。

三、学习过程

（一）问题：

出示例1：同学们在全长100 m的小路一边植树，每隔5 m载一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？

1

师：从题中你了解到了哪些数学信息？（指名生说，师课件演示）

师：“每隔5 m栽一棵”、

“两端都要栽”、

“一边”是什么意思？

引导生：两棵树之间的距离都是5米，也可以说是“两颗树之间的间隔是5米”；

“两端都要栽”指的是100米的路的两头都要栽树；“一边”指的是只在路的一旁栽树。

（二）探究：

1.猜测：可以栽多少棵？

师：根据经验你们猜可以栽多少棵？

生：20棵……40棵……21棵……

2.验证：可以用那些方法进行验证？（画图；把100米改小点，比如改为10米，20米，或者30米······）

师：刚才只是你们的猜测，猜的对不对呢？我们还得经过验证，我们可以选择什么方法来验证呢？

生：画图……

师：对，画线段图。用什么来代表树？

生：一个点……一个小竖线……

师：每隔5米就有1个间隔，那100米要画多少个间隔呢？难道我们要画100米吗？

生：……

师：我们是不是可以先从小一点的数入手探究呢？5米一个间隔，选用多少米比较合适呢？

生：10米……20米……

师：为了方便研究，我提议，我们就画线段图来表示20米和25米的栽树情况，并数出对应的间隔数和棵数，将研究结果记录在表格里！（出示清单的表格）

师：根据表格的探究，你能总结出栽树棵树的规律吗？（出示清单表格后面的内容）

1、自主学习

师：请开始探究并完成自主学习材料吧！（指着清单说）认真学习教材第106页会对你的探究有很大帮助哦！

学习提示：

2

验证：

（1）填表：每隔5米栽一棵，两端都栽，可栽多少棵树？

棵数（棵）

路

长

画

图

间隔数（个）

20米

25米

总结规律：植树棵数=（

）

（生自主学习教材，师巡视）

2、小组交流

师：大家的学习能力真强啊！自主学习完成了探究，相信你们有很多的想法想和小组的同学分享！那请你们根据清单说一说……（师指着ppt清单说）

（课件出示小组交流清单）

交流提示：

在组内说一说：

•

根据清单，说一说你的猜想、验证和结论； •

告诉小组同学，当数字比较大（100米）时，你用了什么方法进行的验证？

•

告诉小组同学，你总结的棵数与间隔数之间的规律是什么？

（生在小组内交流，师巡视引导，尤其是画线段图，找一一对应关系；算式中各个数字的含义。）

3、全班展示

师：在小组内交流看来都没难道大家，真是善于交流的小朋友。你们敢将小组学习的成果讲给所有同学和老师听吗？

（课件出示小组交流清单）

交流提示：

给全班同学：

•

根据清单，向同学们说一说你的猜想、验证和结论； •

当数字比较大（100米）时，你用了什么方法进行的验证？

•

你总结的棵数与间隔数之间的规律是什么？

3

（三）应用规律解决问题

同学们在全长100 m的小路一边植树，每隔5 m载一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？

师：得到了规律，那你们能用这个规律解决这个100米的问题了吗？请完成在学习材料上吧！

生列式解答。

师：哪位同学来汇报一下你的算式？

生：100÷5=20,20+1=21 师：解决这个问题我们用了两步，这两步分别求的什么？

生：第一步（100÷5=20）求的是间隔数，第二步求的是植树棵树！

师：对，我们发现，解决这个问题要用两步，先求“间隔数”，就用“总长÷间隔距离”，第二步再求“棵树”，用“间隔数 + 1 ”

得到的。

师：规律中加的这个1可以通过用线段图上的“一一对应”来说明。（出示线段图和100米）

引导生：一个间隔对应一棵树，一个间隔对应一棵树，这样一一对应，第20个间隔就对应第20棵树，两端都要栽，最后还可以栽一棵，所以加上最后的一棵就是21棵。

（四）反思小结

（1）当两端都栽时，植树的规律就是：棵数=路长÷间隔长度+1 （2）同学们使用了“猜测—验证—总结”的策略，还用了从简单入手、画图等“化繁为简”的策略解决了这个植树问题；

（3）你还有什么问题？

师：解决这个问题，我们经过了猜测—验证—归纳的过程，验证时，由于100米太长了，所以我们用了“化繁为简”的方法，选用比较简单的数（20米、25米）入手探索，总结出了规律：棵数=路长÷间隔长度+1，最后用这个规律解决了100米的植树问题。看来呀，这个从简单入手的“化繁为简”的方法真实一个非常适用的好办法！

大家还有什么问题吗？

预设1：所有的植树问题都是这样的吗？如果不是两端都栽的呢？

预设2：生：没什么问题。师2出场：我有一个问题！你们今天学习的植树问题的规律是什么？所有植树问题都满足这个规律吗？……

中间过渡

预设1: 你还有什么问题？生：没什么问题。

师1：静息，今天的课我就上到这儿了。再见！（生疑惑）

4

预设2：环形的时候又会怎么样呢？只栽一端的时候怎么样呢？两端都不栽的时候呢？

【世界伟人的天才数学家爱因斯坦曾经说过，提出一个问题比解决一个问题更重要，你离数学家又进了一步，我建议大家用热烈的掌声表扬这位同学，】

师2入场1：除了他说的栽法，还有可能有其他的栽法吗？想一想，两端不栽，只栽一端。你也很会思考。

师2入场2：那我们接下来就研究这位同学说的两端不栽的情况。

那你们研究出来的规律还适合两端不栽的情况吗？不能。哦，两端都不栽的时候，规律又是怎样的呢？

四、迁移过程

（一）出示信息

请看，像这条路，两端都有障碍物，左端是大象馆，右端是猴山，还需要栽树吗？不需要，所以这种栽法是两端不栽。课件出示例2：大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？

再看看从题目中还能找到哪些信息？仔细观察哦。【少数生举手，师稍等片刻，提醒再请生说完全部信息】。

课前引导;生1:相距60米，也就是路的总长是60米，两旁，两端不栽，这里是“两端不栽”，路的两头都不栽树，相邻两棵树之间的距离是3米，也就是间隔距离是3米。找的很全面。生2:提醒：哪些信息比较关键或直接问两旁要栽是什么意思？

“两旁栽树”指的是，路有两边或者两侧，这条边和这条边都要栽树，栽两行。你很会分析。这跟刚才解决的例题1中只栽一边不同，但是为了方便，我们同样可以先只求出一旁要栽的树，再乘2。（边找边问，学生找完信息后，教师追问，师课件圈出。指着路说。）

请生猜想：；大胆的猜一猜一边要栽多少棵树呢？请3生。那到底猜的对不对呢？猜想过后需要进行验证。

在验证中，回顾一下像例1中比较大的数字100米，从简单的小点的数字20米,25米，开始画图试验先找出规律。而这题种间隔距离是3米，比较短，总长是60米，数据相对比较大，那我们可以从哪些比简单的小点的数字入手研究呢？生举例子。

生举例子20米能行吗？20米里面有整数个3吗？能满足刚好栽几段吗？不能。所以总长必须是3的倍数。30米，那得分为几个间隔？10个间隔，师疑惑状？还能再小点吗？3米，师质疑，当两端不栽，每隔3米栽一棵时，3米还用栽树吗？不用。请生说还有哪些更简单的数据。；总长是3米、6米，9米……

师：你们会用解决例1问题的策略继续来探究吗？能。好，那我们来试试！

师：；可以从总长是3米、6米，9米开始研究，先找到棵树和间隔数之间的规律，并想一想，比较这个问题的规律与例1的规律，有什么不同？请认真看数学书根据学习提示先完成学习材料第2页例2的内容，看谁又对又快，开始吧。

生y1疑惑：先画一条线段表示总长是几米，再再用点或小竖线表示树，画一画。

（二）自主探究

1、

自主学习

学习提示：

（1）猜测：可以栽（ ）棵；

（2）验证：（采用画图、从简单入手等方法，可能会更容易找到规律哦！）

（3）总结：棵数=（ ）。

思考：这个问题的解决与例1问题比较，有什么不同的特点？

巡视（生自主学习、小组内交流，师巡视引导画线段图：选择数据，只画出一旁，两端不画出，对应的箭头一一对应的关系，为什么少1。教会学生展示表达）【板书两端不栽】

5

师：有的人很聪明，只画出路的一边要栽的棵数找找规律，两旁的棵树利用规律求出一旁的棵树再乘2就可以了。

师：大家都是学习的能手啊！自主学习完成了探究，相信你们有很多的想法想和小组的同学分享！那请你们根据清单说一说……（师指着ppt清单说）开始吧。【先指导学生，再展台切换，再指导学生】

（课件出示小组交流清单）

2、小组交流

（1）根据你的图或算式，具体地说一说你的猜想、验证和结论？

（2）给小组的同学比较解决这个这个问题的规律和例1的规律，有什么不同？

巡视（生自主学习、小组内交流，师巡视引导画线段图：选择数据，只画出一旁，两端不画出，对应的箭头一一对应的关系，为什么少1。教会学生展示表达） 师：我都被你们热烈讨论的氛围感染了，真是善于学习的孩子，通过热烈的交流，相信又生成了很多新的想法。那个小组愿意将你们的智慧展现给全班同学？（课件出示小组交流清单）【展台的切换时间？】

3、全班展示，给全班同学说一说

（1）对照图或算式，具体地说一说你们小组的猜想、验证和结论？

（2）你们小组认为解决这个问题和例1问题的规律，有什么不同？

汇报：提前请2生按照递进层级在讲台准备。选的不同的数据。

生1: 生2:找规律时，谁试验研究的总长不一样，取得数据不一样，谁有不同的画法。【请2组同学】

师的问题：我指着其中的规律，疑惑的问

师1：它的图和别人有点不一样。多了箭头，解释。你能一一对应着指着找到减少的1吗？生1：一个间隔一棵树……

师2::到底是“＋1”还是“－1”

，你是怎样想的。谁来指一指“1”在哪？【请生一个间隔对应一棵树的说一说】

谁还有得到规律的不同方法？它的图画了两部分，同书上一样，推理。

生2：我的想法是两端都栽时，是间隔数加1，两端都不栽时，在原来的数据上减师：真是个聪明的孩子，掌声。棵树本来是间隔数加1，再减2，就是间隔数减1.我被你的智慧折服了。

汇报中的发现，引导学生说出来。【板书两端都栽，棵数=间隔数-1】

（三）解决问题 现在会利用找到的规律来解决我们刚才的问题。请同学们在清单上完成。看看哪位同学最会应用。哪位同学来说说你是怎么解决的？【师指导学生算式的意思，求什么，怎么求，我们经历了那几步？单位】

（1）生：算式60÷3＝20（个），20-1＝19（棵），19×2＝38（棵）。谁来总结解决这个问题我们经历了哪几步？生：第一步先求间隔数，用60除以间隔距离3求出间隔的个数,也就是间隔数是20。第二步再求棵树，用间隔数20去掉1求出棵数19（棵）。第三步因为两旁都要栽最后用一旁的棵树乘2，求出2旁要栽的棵数19×2＝38（棵），就得到了两边一共要栽的棵数。说的真清楚！

你猜对了吗？猜对的同学举手。你猜的也是20棵，看来你猜对了，很厉害呀。

（2）【停顿一下】为什么要减1呢？我们在线段图上栽一栽树，一个间隔对应1棵树，一个间隔对应1棵树（用手指着说），以此类推，一个间隔对应1棵树，这样一一对应，两端都不栽树，到最后一个间隔孤零零的没有与它对应的树，因此间隔数比棵数多1，棵数比间隔数少1，

（四）对比规律

6

；因此两端都不栽的植树问题的规律是：棵数=间隔数-1. 、显然对比两段都栽时棵数等于间隔数加1时，棵数与间隔数的关系有所不同，一个比间隔数多1，一个比间隔数少1，但都需要先用总长÷间隔距离求出间隔数，都用到了一一对应的数学思想来找到规律。

全课总结：同学们既经历了解决问题的过程，又收获了植树问题的规律，真是双丰收啊。谈谈你的收获。回顾学习的过程。你们有什么收获呢？请3生。【指着板书】

收获了“猜测—验证—总结”的策略，还用了从简单入手、

画图等“化繁为简”的策略，掌握了植树问题的规律，解决了这个植树问题。

（五）模型应用

（一）、师：我们探究出了这么重要规律得发挥它的价值，广泛的应用它，它还能解决哪些跟植树问题类似的问题呢？生2: 例举生活中的间隔。生1:疑惑，师举一个例子，比如说老师张开手指就是一个类似的问题植树问题，你看到了什么，手指，不是，是“树”，手指相当于树，手指之间的空隙是间隔，手指数和间隔数也有关系，5个手指4个间隔，手指数比间隔数多1，相当于两端都栽的情况。或直接出示灯片中的第一个，就是我们的教室里的座位问题，排队做操时的排列问题。

生1：教室里电灯的排列问题。

生2：路边路灯的问题。

（二）、师：确实有很多现象与植树问题类似呢！老师也收集了一些，比如说路灯的排列问题，队列问题，公交车站问题，插彩旗问题等等，课件演示生活中类似的实例。归类整理模型。

1、路灯问题：在全长2000米街道一旁安装路灯（两端也要安装），每隔50米安装一座，

一共要安装多少座路灯？它跟植树问题有关系吗？有，1、把( )想象成“树”，把( )看成间隔。2、你能从题目中看出来它属于植树问题中的哪种栽法吗？3、请观察算式，用手势告诉我几号算式可以表示路灯数。请1生说说为什么。

2、与公交站台有关的植树问题。5路公共汽车行驶路线全长12千米，相邻两站的距离是1千米。一共有几个站台？这里还有没有“树”？请生说，把( 公交车站点 )想象成“树”， 把(相邻两站的距离 )看成间隔。一般实际情况中，首尾都要设车站。请观察，用手势告诉我几号算式可以表示路灯数。请生说说13怎么来的？

3、再看有趣的据木头的问题，把一根粗细均匀的木料锯成5段，每锯一次要用2分钟，一共要用多少分钟？把(每次锯木头的分割点)想象成“树”，把(每段木头)看成间隔，两端不栽。把(每段木头)想象成“树”，把(每次锯木头的分割点)看成间隔，两端都栽。两种看法？（锯木头的次数）相当于棵数。请观察，用手势判断几号算式可以表示锯的次数。请生说说12怎么来的？

全课总结：所以植树问题中的树，不仅仅是栽的树，还可以是路灯安装问题按距离排列的路灯、等距离设立的公交车站、锯木头时的分割点等等，这类问题就是我们今天研究的植树问题的模型。希望同学们用智慧的眼光和数学的头脑继续去探究植树问题的奥秘。好吗？

好了，孩子们，下课。

板书：

1、猜想：

2、验证：画线段图，举例子。

3、规律：棵数﹦间隔数﹢1 4、应用：100÷5＝20（个）20＋1＝21（棵）

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学习清单

例1：

自主学习提示：

1、猜测：可以植（

）棵。

2、验证：

（1）填表：每隔5米栽一棵，两端都栽，可栽多少棵树？

路

长

画

图

间隔数（个）

棵数（棵）

20米

25米

想一想：不画图，你知道：30米要栽（

）棵树，35米要栽（

）棵。

（2）列式解答：

全长100米的道路一旁栽树，每隔5米植一棵（两端要栽），一共要栽多少棵？

3、总结规律：植树棵数=（

）

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例2：

学习提示：

（1）猜测：

；

（2）验证：（画图、从简单入手，可能会找到规律哦！）

（3）总结规律：棵数=

.

思考：比较这个问题与例1的规律，有什么不同？

做一做：

1、在一条全长2km街道两旁安装路灯（两端也要安装），

每隔50m安装一盏，一共要安装多少盏路灯？

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2、小明家门前有一条35米的小路，绿化队要在路旁栽一排树，每隔5米栽一棵（一端栽，一端不栽）。一共要栽多少棵？

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