习题2.3教学设计实例

教学设计：空间中的垂直关系的转化

一．

教材分析：

本节课内容是人教A版数学必修2第二章《空间点、线、面位置关系》章节复习课，是在学生已经学习了空间直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定与性质的基础上，进一步加深对空间线线、线面、面面垂直关系以及垂直关系和平行关系之间的联系和相互转化，并获得解决证明线线、线面与面面垂直的方法。本节课先忆实现空间线线、线面与面面垂直关系相互转化的定理，以及空间平行与垂直关系相互转化的定理，构建完整的知识体系，并通过基础检测、典型例题探究获得证题的技巧和方法，形成解题模块，让学生体会转化与回归数学思想，通过本节内容的学习可以使学生将已有的知识形成体系，对于进一步探索、研究其他数学问题有很强的启发与示范作用。

二、教学目标：

1．知识与技能目标：

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关判定与性质定理；

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单问题. 2．过程与方法目标：

1、通过知识的整理和题型训练构建学生完整的知识和方法体系；

2、培养学生的观察和探索问题的能力，体会转化与化归的思想；

3．情感态度，价值观目标：

通过对问题的自主探究，培养独立思考能力，通过难题的解决，培养学生坚忍不拔、迎难而上的钻研精神

三、教学重点，难点 1．重点：空间线线、线面、面面垂直关系以及垂直关系和平行关系之间的联系与相互转化

2．难点：空间垂直关系综合应用

四、教法方法：讲授与启发、合作与探究

五、教学手段：运用几何画板、多媒体.

六、教学过程

（一）基础知识梳理：

一、

空间垂直关系的相互转化

前面我们已经复习了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面平行关系的相互转化，

相对于平行关系，垂直关系是一种更重要的位置关系，今天我们来复习空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的垂直关系的相互转化，以及垂直关系与平行关系的相互转化，首先请同学回忆定理，并且填在下面相应位置。

①

②

线线线面

垂直

垂直

④

③

面面垂直

m,n,l ,

n

l

①：

m

P







②：

llm,ln

,l,l,ala③：

④：

aa,al二、平行关系与垂直关系的相互转化

⑤

⑥

垂直

关系

⑦

⑧

⑨

⑩

平行

关系

/b⑤：

a



,

b







a

/

⑥：

l,l//

/bc



⑦：

a

/

,

a



b



c

⑧：

a,a//bb



⑨：

/

/



,

a







a





⑩：

//,【师生互动】学生回忆并完成（1）-（10），教师指导学生写出相应的符号语言，并分别叫5个同学回答，对于不完善的地方，教师通过追问方法，引导学生纠错并加以完善。

【设计意图】复习课的目标之一是在学生已经掌握的知识和方法的基础上，继续巩固和加深对知识和方法的掌握，并形成知识和方法的体系，本堂课所复习内容较多，关系较复杂，所以教师采用推到图方式，帮助学生理清关系，形成清晰的知识体系

（二）基础检测：

1. 直线a、b、c 满足a∥b ，b⊥c,则a与c的关系是

（

C ）

A.异面直线

B.平行直线

C.垂直

D.相交

2.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中正确的是（

D

）

A. ①和②

B. ②和③

C. ③和④

D. ②和④

3. 已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题

①//lm；②l//m；③l//m；④lm//。

其中正确的是（

D

）

A．①②

B．③④

C．②④

D．①③

4.空间四边形ABCD的四条边都相等，它的对角线AC与BD的位置关系是

垂直

.

【师生互动】采取先练后评的方式，给足时间让学生练习，再叫四个同学说出答案及分析解题思路，教师再喊几个同学进行点评，初步体验知识体系给解题带来的效果，同时帮助教师及时发现学生在知识体系中存在的漏洞和问题

【设计意图】按照及时反馈原则，对整理的知识体系进行及时巩固，有利于完善学生的认知结构，加深对知识理解，教师也能够通过学生练习情况，发现学生存在的知识漏洞，并及时加以解决。

（三）典型例题探究：

题型一：证明线线垂直、线面垂直

【例1】如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PD⊥底面ABCD。

（1）求证：AC⊥平面PBD （2）AC⊥PB P 【师生互动】

（1）

通过回忆证线面垂直的方法，学生容易想到

可以证明AC⊥BD, AC⊥PD,从而获得思路；

（2）可以直接由第一问线面垂直得到线线垂直。

D

C 【设计意图】例1是一个学考真题，难度较小

大部分学生都能快速而准确作答，选择一个难度

A B 较小的题作为第一个例题，一方面有利于帮助

学生树立信心，激发学生的兴趣，另一方面也是面向全体学生，特别是让班上数学成绩较弱同学有能力完成，达到满足每个学生发展的理念。

题型二：证明面面垂直

【例2】如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，

D、E分别是BC、CA的中点.证明：平面PBE⊥平面PAC；

【师生互动】

教师并不急于抛出解题思路，而是让学生自主探究，探究后再互相交流思路，教师在此基础上喊一个同学回答，形成以下思路：

要证面面垂直，先考虑线面垂直，根据条件，很容易发现

PA⊥底面ABC PA⊥BE

△ABC为正三角形且E是AC中点 AC⊥BE

又PA与AC相交于点A ,所以BE⊥平面PAC，又BE平面PBE 所以平面PBE⊥平面PAC

【设计意图】本题选择了一个高考题的第一问，相比例1难度有所提高，教师留足时间让学生先自主探究，然后师生合作完成，教师给出完整证明过程，难题设计有梯度，可以满足不同程度学生需要，证明过程规范完整书写可以起到示范作用。

【当堂检测】

1、如图,AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任意一点. 求证：BC⊥平面PAC

P

2. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PD//MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且

ADPD2MA. 求证：平面EFG平面PDC；

P

F

G

M D C

E A B

【师生互动】教师先留时间给学生练习，再喊两个同学上讲台黑板板演，教师和学生一起分析答题的准确性和规范性，老师再总结证明直线与平面、平面与平面垂直的方法。

【设计意图】根据及时反馈原则，选择两个有代表性题目让学生训练，可以达到巩固知识、提升技能作用，所选两个例题，第一个来自课本练习题的改编题，第二个题选自前面练习册中学生有困难的作业题，两个题难度都不大，但是都能解决学生存在的问题。

A C B

【思考题】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点，

（1）求证：BG⊥平面PAD；

（2）求证：AD⊥PB；

（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论. 【师生互动】本题第(1),(2)学生很快完成，第（3）问

只有少数同学找到方法，教师在学生思考未果下，给出

如下提示：

要证面面垂直，首先想到证线面垂直，但是因为本题

平面DEF与点F在PC上位置有关，所以平面DEF 位置并不确定，要找直线证线面垂直并不容易，于是

要另外寻找方法，根据题目条件以及垂直关系与平行关系的相互转化，

想到转化证明面面平行。

【设计意图】在题型训练环节最后设计一个有一定难度思考题，有利于拓展学生的知识面，优化学生的认知结构，满足班级数学尖子生的发展需要。

（四）课堂小结

通过本堂课学习，你对哪些收获，你对空间线线、线面、面面垂直关系有什么新的认识？

【师生互动】通过两个问题，引起学生对本题知识、题型、方法的归纳与反思

【设计意图】小结可以是对本堂重点知识和方法的再现，也可以是开放性提问，根据提问教师可以反馈学生本题真实的感受和收获。

（五）作业布置

教材

【板书设计】

课题：空间中的垂直关系的转化

投影屏幕

基础检测

例1 例2 思考题

【教学反思】

本堂课是人教A版数学必修2第二章《空间点、线、面位置关系》章节复习课，本堂课有两个目标，第一是总结空间线线、线面、面面垂直关系，实现两两之间相互转化，以及垂直与平行关系相互转化，形成知识网络体系；第二是掌握证明空间线线、线面、面面垂直关系的方法，形成解题技能和模块。为了完成预设目标，教师通过知识关系梳理，基础题型检验，典型例题训练，总结归纳提升四个环节，层层递进，由浅入深，较好达成预设. 每个环节都精心设计且颇具特色，针对学生在学习概念、定理中存在的问题都有相应措施，但限时时间和教师水平，某些细节处理还值得商榷，提问方式有待改进。