2.1.4 平面与平面之间的位置关系ppt课件课堂实录

人教A版必修2（第二章

第三节

第4课时）

《二面角》教案

XX省XX市XXX中学

教师：XX 2017年6月

《二面角》教案

【教具准备】

多媒体课件。

【教学目标】

知识目标：用三垂线法求出相应的二面角的平面角。

能力目标：通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力及把空间问题转化为平面问题的化归思想。

情感目标：通过空间图形的认识，激发学生学习的兴趣，并让学生明白数学和生活是密不可分的，同时渗透安全教育。

【教学重难点】

教学重点：用三垂线法求出相应的二面角的平面角。

教学难点：如何作出二面角的平面角。

【教学过程】

一、复习引入（2分钟）

1.二面角的平面角的定义是什么？

生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个平面分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

师：强调二面角的平面角满足三要素：①二面角的平面角的顶点在棱上。②角的两边分别在两个面内。③角的两边都要垂直于二面角的棱。

P 2.用定义法如何求出二面角的平面角？

生：以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于aa 的两条射线OA，OB，则∠AOB就是此二面角的平面角。

O A α

a,aAOA3.如图1：PO，PA。

A，图1 ①若aPA，则a②若aAO，则a

AO；

PA。a α

A 图2 O β

P 4.若把图1中的直线PA改成包含PA的面β（如图2），

a，则a的二面角的平面角怎么作出呢？

（引入新课）

二、探索研究（10分钟）

问题1：如图3，点O在二面角-a-

的一个面α内且0a，过O如何作该二面角的平面角呢？（让学生主动动手操作并与同学讨论交流。领会“观察→猜想→验证→归纳→应用”的数学方法。）

生：左图中过O作OB⊥β，再作BA⊥a，连结OA，∠OABα

即为所求(或者过O作OB⊥β，再作OA⊥a，连结AB，∠OABα

a O a 即为所求.)。右图把半平面β反向延伸，过O作OB⊥β于B，O 作BA⊥a，连结OA，明确所作的∠OAB与所求的二面角的平面B A A B 角是互补关系。

β

β

问题2：点O的位置在α内是固定的吗？如果在α内且图3 Oa移动点O的位置，会影响二面角的大小吗？（利用多媒体演示改变点O的位置，画出二面角的平面角。明确点O是α内且Oa的任一点。）

问题3：若O在β内且Oβ，该如何作二面角的平面角呢？（利用多媒体演示明确用三垂线定理法作二面角的平面角的关键）

问题4：归纳用三垂线法作二面角的平面角的关键是什么？

生：通过一个半平面内一点，找出另一个半平面的垂线。

三、例题学习（18分钟）

例1：在△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，PA⊥面ABC，PA=43。求二面角A-BC-P的大小。

5分析探求：首先应根据数学语言画出正确的图形（课件中图3就是错的图），再在图中标出相关的量，观察发现有所求的半平面的垂线（PA⊥面ABC），找出了垂线，通过垂足A作AE⊥BC于E，再连结PE，∠PEA即为所求。（用多媒体演示不同图形的二面角的平面角的作法）

P 解：如图，作AE⊥BC于E，连结PE。

∵PA⊥面ABC，∴BC⊥PE（三垂线定理），∴∠AEP即为所求。

∵AC=4，AB=3，AB⊥AC，∴BC=5，∵ACABBCAE,∴AE=12, 225A B E 43C 在Rt△PAE中，tan∠PEA=53，∴∠PEA=30°

1235∴二面角A-BC-P的大小为30°。

反思研究：此题的半平面的垂线是已知的，容易找出。在算三角形的边长时，常常用面积相等来算边长。

例2：如图4：PA⊥面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=2。求二面角A-PB-C的平面角的正弦值。

分析探求：本题中没有出现所求的平面的垂线。先从C点（A点）出发作出三条辅助线，通过“观察→猜想→验证→归纳”得出一个平面的垂线。垂线找到了，二面角也就能作出来了。

解：作CF⊥AB于F，作FG⊥PB于G，连结GC。

∵PA⊥面ABC，∴PA⊥CF P

∵PA∩AB=A，∴CF⊥面PAB ∴PB⊥CG（三垂线定理），∴∠FGC即为所求。

C ∵AB=1，PA=1，BC=2，AC⊥BC A 6∴AB=3，CF=，PC=2，PB=2，CG=1 B 2126，

∴在Rt△CFG中，sin∠FGC=3662∴所求的二面角A-PB-C的正弦值为6。

3图4 变式：能找出面PBC的垂线吗？让学生动手操作并与同学交流。请一个同学来说出作法，并用多媒体课件演示作法。

反思研究：当所求的半平面的垂线未知时，常常是通过“观察→猜想→验证”得出所求的半平面的垂线。（老师给予能大胆猜想的学生以表扬，再引导他们验证自己的想法，然后发现猜想的对错，更加激发学生的强烈的好奇心和求知欲。）

例3：如图5，河堤斜面与水平面所成的二面角为60°，堤面上有一条直道CD,它与堤脚的水平线AB的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10m时人升高了多少（精确到0.1m）？

分析探求：（在讲例3之前先让学生观看一组实D河物图，并设计了一个学生出去玩耍的场景，激发学生E 堤学习的兴趣，同时向学生进行安全教育）

斜1.建模过程：此例的求解首先要对实际图形作出面G 30°水平面想象理解，然后在教学中抽象出数学模型．虽然建模BACF 过程难度较低，但教学中应主要向学生渗透建模的思图5

想和增强学生对立体几何中一些基本图形的认识与理解。

2.设过AB的水平面为α，河堤斜面DAB所在的平面为β，设CE=10m,。本题要求“升高了多少米”？即是求点E到水平面α的距离EG．这自然会想到解直角三角形ECG，但该直角三角形不可解，故必须另寻途径。

再看看给出的条件，已知二面角α-AB-β是60°，如何作出它的平面角呢？过E在平面β内作EF⊥AB，F是垂足，再连结GF，则根据三垂线定理的逆定理，可得GF⊥AB，则∠EFG就是该二面角的平面角，即∠EFG=60°，再根据∠ECF=30°及直角三角形ECF和EFG的边角关系，就可以求出EG。

解：取CD上一点E，设CE=10m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度。

在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F，并连结FG。由三垂线定理的逆定理，可知FG⊥AB。因此，∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG=60°。由此可得

13EGEFsin60CEsin30sin60102.534.3(m)

22答：沿直道行走到10m时人升高约4.3m。

反思研究：数学来源于生活，又服务于生活。又使学生在教学过程中对数学知识与实际生活进行比较、联系、评价，突出了数学应用的广泛性，进一步强化了学生的应用意识，从而有利于学生数学素养的提高。

四、课堂练习（10分钟）

1．

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，若EF分别为AB-BC的中点。求二面角A1-EF-A的平面角的正切值。

答案：作AG⊥EF于G，连结A1G。

∵正方体ABCD-A1B1C1D1，∴A1A⊥面ABCD

D1

C1

∴A1G⊥EF（三垂线定理），∴∠A1GA即为所求。

A1

B1

设AB=2，则BE=1，BF=1，AE=1，

∵△AGE∽△FBE，∴AGAE，即AG1，∴AG=2

FBFE212在RtA1AG 中， tanA1GA222

22D F A E B C ∴所求二面角A1-EF-A平面角的正切值为22. 2．

如图，在四面体P-ABC中，PC⊥面ABC，AB=BC=AC=PC=a，求二面角B-AP-C的平面角的余弦值。

答案：作BE⊥AC于E，作EF⊥AP于F，连结BF。

∵PC⊥面ABC，∴BE⊥PC，∵ACPC=C∴BE⊥面APC，

P ∴BF⊥AP（三垂线定理），∴∠BFE即为所求。

∵AB=BC=AC=PC=a，∴BE=3a，

2a∵△AEF∽△APC，∴AEEF，即2EF，

APPC2aPCA B C ∴EF214a，BF=a,cosBFE442a7

4.714a4∴所求二面角B-AP-C的的平面角的余弦值为7。

7五、课堂小结（2分钟）

师：这节课我们学到了哪些知识？

生：用三垂线法求出二面角的平面角。

师：用垂线法作出二面角的平面角的关键是什么？

生：是找到一个半平面的垂线。

师：你领会到了什么数学思想。

生：“观察→猜想→验证→归纳→应用”的数学思想。把空间问题转化为平面问题的化归思想。

师：通过三垂线法作出二面角的平面角，把立体几何问题化归为平面几何问题来处理，许多实际应用题，通过建模，可转化为数学问题来解决。我们生活周围处处有数学，希望同学们学会从数学的角度发观和提出问题，并加以探索和研究。

六、自主学习（2分钟）

请同学们把这节课内容复习一遍，结合老师所讲的内容认真理解、吸收，有不清楚的地方向教师询问。（1.教会学生自学。2.学生有将知识内化为自己的知识结构的过程，教师巡视，对有困难的同学给予帮助，促进全班同学共同进步。）

七、布置作业（1分钟）

必做题

1.如图，等腰直角△ABC的斜边BC在平面内，且腰与所成的角为A 30°，AA1⊥于A1，则二面角A-BC-A1的大小为( )。

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二A1

面角E-DB-C人平面角的正切值。

α

B C 3.已知△ABC，AB=10，BC=6，P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC=AC=8。求二面角P-AC-B的平面角的余弦值。

选做题

4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点。求二面角A-BD1-P的大小。课外思考此题（创新：你还能想出其他办法来解此题吗？为空间向量法作铺垫）

C1

D1

A1

B1

C D P A B

【板书设计】

2.3二面角4 1.复习引入 3.例题学习 4.课堂练习 （1）…… 例1 …… 练习1 …… （2）…… （3）…… 例2 …… 练习2 ……

2.探究学习 例3 ……

5.课堂小结

（1）……

（2）……