阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用优秀教案板书设计

铜梁中学校高2018级数学学科导学案（教师版）

课题

圆锥曲线的光学性质

主备人

（执笔）

备课时间

张平华

2018．5.16 课时数

备课组长审核

授课时间

2 张平华

2018．5.20 课型

新课

教材

选修2-1 单元

二

授课人

张平华

班级

2 【教学目标】

1、知识与技能

（1）了解三种圆锥曲线的光学性质，了解它在生产、生活中的应用，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

（2）能对抛物线的光学性质进行代数证明。

2、过程与方法

（1）能通过对一些生活现象的观察提出数学问题，再用数学的方法加以论证，激发学生学习数学的兴趣。

（2）学会如何阅读、如何思考与数学有关的材料。

3、情感、态度、价值观：通过对圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学的抽象性及其广泛的应用性，培养学生应用数学知识的意识及勇于探索的精神。

【教学重点】用代数方法证明抛物线的光学性质；利用圆锥曲线的光学性质解题。

【教学难点】用代数方法证明抛物线的光学性质。

【导学流程】

一、目标导学

1．导入：提到光学性质，学生们马上想到物理学中的光线反射、折射等，但这和数学有什么联系呢？

每个人都见过或用过手电筒，但手电筒的反射镜是什么形状？为什么要这样设计？原理是什么，你思考过吗？经过适当调节，手电筒会发出一束很强的平行光线，为什么会发出平行光线？为什么不是发散的呢？怎样调节才能做到这一点？

2．展示三维目标，布置自学互学任务。

二、个体自学

1、通过阅读，你从材料中得到哪些信息或结论？

信息1:在学习圆锥曲线时只知道这些点为焦点，通过阅读我知道焦点是光线聚焦的点，有丰富的光学性质…… 信息2:通过阅读材料我知道了圆锥曲线的光学性质…… 信息3:同过阅读材料我知道了什么是抛物面、椭圆面、双曲面…… 2、通过阅读，你对圆锥曲线光学性质及其应用产生了哪些疑问？你是怎么解决的？还有哪些疑问没解决？

3、查阅资料：高中物理选修3-4《光》、高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》，回答下列问题：

（1）光的反射数学有什么联系？

光的反射定律：光线从点A入射，经镜面EF反射，反射光线经过点B，入射点为O，法线为OP，则光的反射满足：①入射角与反射角相等；②入射光线与反射光线关于法线对称；③入射光线所在直线与反射光线所在直线关于反射面对称。这就与数学中的对称、夹角等数学问题联系起来了。

光线被曲面反射，等价于被曲面处的切面反射；

（2）光在空间中传播的路径是根据什么原理选择的？

E

A1

O

O1

A

P

B

E

O

F

A

P

B

F

费马原理：光从空间中一点传播到另一点总是沿光程为极值或稳定值的路径传播。这也称为光线的“最近传播”原理。

三、小组互学

互学一：试用自己的语言分别表述椭圆，双曲线，抛物线的光学性质，并举几个实际应用的例子。

椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点；

椭圆的光学性质的应用：影片放映机。（幻灯片展示图片）

双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线面反射后，反射光线是散开的，但反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；

双曲线的光学性质的应用：转角镜，汽车后视镜等。（幻灯片展示图片）

抛物线的光学性质：从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线面反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；

抛物线光学性质的应用：探照灯，卫星接收器等。（幻灯片展示图片）

互学二：从抛物线焦点发出的所有光都遵循这一规律吗？跟射出的角度有关吗？与抛物线的张口有关吗？

从抛物线焦点发出的所有光线都遵循这一规律，与射出角度，抛物线的张口等无关；

互学三：如何将抛物线的光学性质表示为纯几何结论（即抛物线切线的性质）？

根据光的反射定律以及光线被曲面反射等价于光线被曲面的曲线反射等性质，抛物线的光学性质转化为纯几何问题，一定与抛物线的切线有关，即该问题将转化为抛物线的切线问题。

形式1：抛物线C的焦点为F，抛物线C在点P处的切线为直线l，直线PA平行抛物线的对称轴，则直线PA、PF与切线l所夹得角相等。

形式2：抛物线C的焦点为F，抛物线C在点P处的切线为直线l，直线PA平行抛物线的对称轴，则直线PA与PF关于切线l对称。

形式3：抛物线C的焦点为F，抛物线C在点P处的切线为直线l，则直线PF关于切线l对称直线PA平行于抛物线的对称轴。

形式4：抛物线C的焦点为F，抛物线C在点P处的切线为直线l，直线PA平行于抛物线的对称轴，则直线PA关于切线l对称的直线恒过焦点F。

互学四：如何用数学方法证明抛物线的光学性质？试选择一种形式进行证明。

四、展评促学

分小组展评共学成果，同学互评，教师点评。

命题：抛物线C的焦点为F，抛物线C在点P处的切线为直线l，直线PA平行于抛物线的对称轴，则直线PA关于切线l对称的直线l恒过焦点F。

建立如图的坐标系，则抛物线方程为x22py(p0)，P(x0,y0)，PA：xx0，∠α=∠β，

方法1：不妨假设点P在y轴右侧（点P在y轴左侧的情况类似），

由x22py得y率为klxx，则y，则切线l的斜p2p2l`FlPAyl`αFlPβAxpx0，∴tantan，

px0

2p2x02px02tanx0p22∴tan2，即kl，直线l的方程为22p1tan1()2x0p2px0x02x0p2yy0(xx0)，

2px02x0p2x02p2x02p令x0，得y(x0)+y0+，2px02p2p2yl`αNlPβAx即直线l恒过抛物线的焦点F。

方法2：假设直线l与y轴交于点N(0,m)，切线l的方程为yy0x0(xx0)，

p2x0则切线l与y轴的交点为M(0,y0)，

pMx022(y0m)2，

∴MNmy0my0，PNx0p由题知，PMN，∴PNMN, 2(y0m)2，解得m∴my0=x0pp，即N(0,)为抛物线的焦点，即直线l恒过22抛物线的焦点F。

五、精讲促学

精讲：点F是抛物线C：y4x的焦点，点M(2,1)，点P是抛物线C上一动点，求|PM|+|PF|的最值。

分析：由于抛物线不是封闭曲线，显然没有最大值，因此关键是求最小值。根据抛物线光学性质（从焦点射出的光线经抛物线反射，反射光线与对称轴平行，反之也成立），结合光线的“最近传播”特点，我们猜想：过M与对称轴平2yNPMFx

行的直线与抛物线的交点可能就是使距离之和最小的点，设为P点（见图3.2.6），可由抛物线的定义证明猜想是正确的，且|PM|+|PF|≥3。

六、当堂验学

x2y21的右焦点，点M (2,1)，点P是椭圆C上一动练习1：点F是椭圆C：43点，求|PM|+|PF|的最小值。

x2y21的右焦点，点M (2,1)，点P是双曲线C上一练习2：点F是双曲线C：43动点，求|PM|+|PF|的最小值。

七、迁移延学

x2y21，已知A(4,1.双曲线C：0，若由F射至A的光线被双曲线C22)，F4,88反射，反射光通过P8,k，则k

。

2.请查阅相关资料进一步了解圆锥曲线的光学性质及应用。

3.你能将圆锥曲线的光学性质进行组合，尝试设计一些作品吗？

4.思考下列问题：如果不是从圆锥曲线的焦点发出的光，经圆锥曲线反射后会怎样呢？在圆锥曲线中能不能找到其它点也具备很好的光学性质？

有没有其它的曲线也具有类似的光学性质？波经圆锥曲线面反射，也有这样的反射效果吗？

5.尝试用代数方法推导椭圆的光学性质。

我的教学反思：圆锥曲线的光学性质在生活中应用很广泛，但圆锥曲线的光学性质与数学的关系，如何将圆锥曲线的光学性质转化为纯几何问题，是这节课非常重要也非常关键的内容。本节课注重落实导、学、评、用四环节，充分激发学生学习的需求，调动学生学习的积极性，一步一步引导学生解决问题，体现“自主学习·以学定教”的课堂教学原则。