小结教学评价实录

第四章末知识整合

知识结构图

热点专题聚焦

专题一

圆的方程

圆的方程有两种形式：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，明确了圆心和半径，圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)体现了圆的二元二次方程的特点，在实际求解中常常先求出圆的标准方程，再化简为一般方程，求圆的方程常用的方法为几何法和待定系数法．

例1

已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆的一般方程．

解析：解法一：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，

－D＋5E＋F＋26＝0，由题意可得－2D－2E＋F＋8＝0，5D＋5E＋F＋50＝0，D＝－4，解得E＝－2，F＝－20.

故圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.

解法二：由题意可求得弦AC的中垂线方程为x＝2，BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，x＝2，x＝2，由解得∴圆心P的坐标为(2,1)．

x＋y－3＝0y＝1.

圆半径r＝|AP|＝＋2＋－2＝5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，

即x2＋y2－4x－2y－20＝0.

►跟踪训练

1．求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程．

解析：解法一：∵圆心在y轴上，

设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2. ∵该圆经过A、B两点，

222(－1)＋(4－b)＝r，∴2

223＋(2－b)＝r，

b＝1，∴2

r＝10.

所以圆的方程是x2＋(y－1)2＝10.

解法二：线段AB的中点为(1,3)，

kAB＝2－41＝－，

23－(－1)∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，

即y＝2x＋1. y＝2x＋1，由得(0,1)为所求圆的圆心．

x＝0，

由两点间距离公式得圆半径r为

(0＋1)2＋(1－4)2＝10，

∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.

2．已知△ABC三边所在直线的方程为AB：x＋2y＋2＝0，BC：2x－y－6＝0，CA：x－2y＋6＝0，求△ABC的外接圆的方程．

解析：由题先求出△ABC的三个顶点．

x＋2y＋2＝0，由得B(2，－2)，

2x－y－6＝0，2x－y－6＝0，由得C(6,6)，

x－2y＋6＝0，x＋2y＋2＝0，由得A(－4,1)，

x－2y＋6＝0，

又A、B、C都在外接圆上，故设外接圆方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2－a)＋(－2－b)＝r，222解方程组(6－a)＋(6－b)＝r，(－4－a)2＋(1－b)2＝r2，7125得a＝1，b＝，r2＝. 247125y－2＝. ∴所求外接圆方程为(x－1)2＋24专题二

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系是高考中的热点内容之一，主要有：

1．直线与圆的三种位置关系．

(1)直线与圆相交，有两个公共点；

(2)直线与圆相切，只有一个公共点；

(3)直线与圆相离，没有公共点．

2．直线与圆位置关系的两种判定方法．

(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组的解的个数来研究．若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切，若无实数解，即Δ<0，则相离．

(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断．当dr时，直线与圆相离．

3．求弦长．

l直线与圆相交有两个交点，设弦长为l，弦心距为d，半径r，则有()2＋d2＝r2.即半弦2长、弦心距、半径构成直角三角形，利用此关系式可解．

代数法：|AB|＝1＋k2|x1－x2|(k是AB的斜率，x1，x2是两交点横坐标)．

4．圆的切线．

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为：x0x＋y0y＝r2. 222

(2)圆的切线方程的求法．

①求过圆C外一点P(x0，y0)和圆C相切的切线方程．

几何法：设切线为y－y0＝k(x－x0)，由圆心C到切线距离等于圆的半径r，列方程求k，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为x＝x0. 代数法：设切线为y－y0＝k(x－x0)，与圆方程联立，消元，由Δ＝0求出k，讨论方法同上．

②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)求圆的切线方程．

1圆心C(a，b)，k＝－，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，如果kPC不存在，则k＝0，如kPC果kPC＝0，则切线方程为x＝x0. 解决直线与圆位置关系问题的主导方法是几何法．

例2

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.

(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

解析：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以d＝22－32|1－k－3－＝1.由点到直线的距离公式得d＝1＋k2，从而k(24k＋7)＝0. 7即k＝0或k＝－，

24

所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0. (2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)(k≠0)，则直线l2的方1程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线kl2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距1|5＋k|1－k－3－a－b|离相等，即＝1＋k2－a－b|，

11＋2k整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，

从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或

1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，

即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，

因为k的取值范围有无穷多个，

a＋b－2＝0，a－b＋8＝0，所以或

b－a＋3＝0a＋b－5＝0，

解得1b＝－25a＝，2

或13b＝2.3a＝－，2

51313，－或点P2－，. 这样点P只可能是点P12222经检验点P1和P2满足题目条件．

►跟踪训练

3．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．

解析：如图，

取AC的中点F，BD的中点E，则OE⊥BD，OF⊥AC. 又AC⊥BD，

∴四边形OEMF为矩形，

∴d21＋d22＝OM2＝3. 又|AC|＝24－d21，|BD|＝24－d22，

∴S2四边形ABCD1＝|AC|·|BD|＝224－d21·4－d22＝2＋d－d＝325d22－2＋. －24∵0≤d22≤3.

3∴当d22＝时，S四边形ABCD有最大值为5. 2答案：5 4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________. 解析：x2＋y2＋2ay＝6，x2＋y2＝4，

1两式相减得y＝. a1y＝a，联立

22x＋y＝4，4a2－1消去y得x＝2(a>0)．

a2

4a2－1∴2＝23，解得a＝1. a答案：1 专题三

数形结合思想的应用

数形结合是中学数学中四种重要的数学思想方法之一，它将抽象思维与形象思维有机地结合起来，恰当运用数形结合可提高解题速度，优化解题过程．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下几点：

(1)要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

(2)要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

(3)要正确确定参数的取值范围，以防重复与遗漏．

数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．

例3

设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是(

) A．(4,6)

B．[4,6) C．(4,6]

D．[4,6]

解析：解法一：圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离为4x－3y＝2的距离为1的轨迹为4x－3y＝7或4x－3y＝－3. |12＋15－2|42＋－2＝5，而到直线如图，当圆与直线4x－3y＝7相交、与4x－3y＝－3相离时，圆上只有两点与4x－3y＝2的距离为1.

所以4

当r＝4时，圆与直线4x－3y＝7相切，只有一个点符合要求；

当r＝6时，圆与直线4x－3y＝－3相切，与4x－3y＝7相交，圆上有三个点符合要求．

故4

y＋25．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，求的取值范围．

x＋1y＋2解析：如图所示，设P(x，y)是圆x2＋y2＝1上的点，则表示过P(x，y)和Q(－1，x＋1－2)两点的直线PQ的斜率，过点Q作圆的两条切线QA、QB，由图可知QB⊥x轴，kQB不存在，且kQP≥kQA.

设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)，由圆心到QA的距离为1，得3＝1，解得k＝. 4∴y＋23，＋∞. 的取值范围是4x＋1|k－2|k2＋1

6．已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－8)2＝4，直线y＝求实数b的取值范围．

解析：如图，两圆相外离，直线是斜率为5x＋b在两圆之间穿过，25的一簇平行线，在y轴上的截距是b，由直2线与圆相切求出b的两个边界值，进一步可求出b的取值范围．

直线方程为5x－2y＋2b＝0. 当直线与圆C1相切时，解得b＝±3. |－16＋2b|当直线与圆C2相切时，＝2，解得b＝5或b＝11. 5＋4由图知3

(3,5)．

|2b|＝2，

5＋4