复习参考题第一课时教学实录

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

教学分析

本节一开始的“思考”从学生熟悉的正方体和长方体的展开图入手，分析展开图与其表面积的关系，目的有两个：其一，复习表面积的概念，即表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积. 接着，教科书安排了一个“探究”，要求学生类比正方体、长方体的表面积，讨论棱柱、棱锥、棱台的表面积问题，并通过例1进一步加深学生的认识.教学中可以引导学生讨论得出：棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题. 教科书通过“思考”提出“如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？”的问题.教学中可引导学生回忆圆柱、圆锥的形成过程及其几何特征，在此基础上得出圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的结论，随后的有关圆台表面积问题的“探究”，也可以按照这样的思路进行教学.值得注意的是，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系，教学中应当引导学生认真分析，在分别学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积公式后，可以引导学生用运动、变化的观点分析它们之间的关系.由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下. 关于体积的教学.我们知道，几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题.度量体积时应知道：体积的和.体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的.

柱体和锥体的体积计算，是经常要解决的问题.虽然有关公式学生已有所了解，但进一步了解这些公式的推导，有助于学生理解和掌握这些公式，为此，教科书安排了一个“探究”，要求学生思考一下棱锥与等底等高的棱柱体积之间的关系.教学中，可以引导学生类比圆柱与圆锥之间的体积关系来得出结论. 与讨论表面积公式之间的关系类似，教科书在得出柱体、锥体、台体的体积公式后，安排了一个“思考”，目的是引导学生思考这些公式之间的关系，建立它们之间的联系.实际上，这几个公式之间的关系，是由柱体、锥体和台体之间的关系决定的.这样，在台体的体积公式中，令S′=S，得柱体的体积公式；令S′=0，得锥体的体积公式. 值得注意的是在教学过程中，要重视发挥思考和探究等栏目的作用，培养学生的类比思维能力，引导学生发现这些公式之间的关系，建立它们的联系.本节的重点应放在公式的应用上，防止出现：教师在公式推导过程中“纠缠不止”，要留出“空白”，让学生自己去思考和解决问题.如果有条件，可以借助于信息技术来展示几何体的展开图.对于空间想象能力较差的学生，可以通过制作实物模型，经过操作确认来增强空间想象能力. 三维目标

1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣. 2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力. 重点难点

教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用. 教学难点：表面积和体积计算公式的应用. 课时安排

1课时

教学过程设计

（一）．创设情境，引入新课

[问题]：在初中，我们就学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道它们的展开图与其表面积的关系吗？

设计意图：1、复习表面积的概念；2、介绍利用平面展开图求面积的方法，求立体图形的表面积。

（二）．探究棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法

[提出问题]：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

[分析处理]：1、以五棱柱，四棱锥，三棱台的模型，同学们分组合作，把模型展开，它们的展开图，表面积如何？

2、当学生得出结论后，教师反问：对于其他的棱柱、棱锥、棱台，结论又会如何？我们能否找到他们的共性？

3、让学生自主探索,讨论交流，并阐述自己的想法，最后总结出：

S棱柱的表面积=S侧+2S底，S棱锥的表面积= S侧+S底， S棱台的表面积=S侧+S上底+ S下底

[概括总结]：让学生明确棱柱的侧面展开图是若干个平行四边形，棱锥的侧面展开图是若干个三角形，棱台的侧面展开图是若干个梯形，这样就可以把空间几何体的表面积问题转化为平面图形的面积问题。

设计意图：这样设计教学程序，能使学生在探究过程中产生认知冲突，激发他们探究新知的欲望和必要性，通过解决特殊问题，让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，符合学生的认知结构特征，

同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般。通过学生对以上问题的解答，真正把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识。

三、探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 [问题1]：圆柱、圆锥、圆台是如何形成的？它们的展开图如何？

[问题2]：若知道了圆柱、圆锥的底面圆半径r，母线长l，圆台的上、下底面半径分别是r，r，母线长为l，你能计算出它们的表面积吗？

[问题3]：圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系? [分析处理]1、通过几何画板演示旋转体的形成过程，大家猜想一下他们的侧面展开图如何？

2、圆柱、圆锥、圆台的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长有什么关系？

3、如何圆台的侧面展开图“扇环”的面积？

[概括总结]：1、充分认识圆锥、圆柱、圆台的侧面展开图为矩形、扇环。

2、推到出公式：圆柱的表面积S2r22rl2r(rl)，圆锥的表面积Sr2rlr(rl)，圆台的表面积S(r2r2rlrl)。

3、圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察他们的侧面积，不难发现：

r1r2r10,r2rS圆柱表2r(rl)S圆台表（r1lr2lr1r2)rS圆锥表r(rl)22

设计意图：首先经过几何画板演示旋转体的形成过程，学生会非常直观的得到圆锥圆柱圆台的侧面展开图，把复杂的空间曲面问题转化为了平图形面积问题；其次在推导圆锥圆柱圆台的表面积公式中，我主要抓住了相关数量间的关系即：圆柱、圆锥、圆台的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长的关系！引导学生从度量的角度认识空间几何体，顺利推导圆柱、圆锥、圆台的表面积，从而突破本节的难点；最后在得到相关表面积公式后用运动、变化的观点看待三者之间的关系，更加方便于学生对空间几何体的了解和掌握，灵活运用公式解决问题。

[问题4]：回顾长方体，正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？

四、公式应用：

1、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积

．

2、如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米？（取3.14,结果精确到1cm2）？

设计意图：目的是为了巩固学生所学的数学知识，方法和思想，提高学生灵活应用所学知识解决实际问题的能力。

五、尝试小结：

（1）棱柱、棱锥、棱台表面积的计算方法。

将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积。

15cm

20cm15cm

（2）圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算方法（公式不要求记忆），及其联系。

1、柱、锥、台的表面积与体积的计算方法的应用。

设计意图：通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法，对所学知识技能和思想方法有一个全面系统的认识，培养了学生概括总结所学知识的能力。

六、课后作业：

1.正方体的侧面展开图有多少种？

2.右图所示的平面展开图是什么样子的？

七、教学反思

我在课堂上较好地体现了教师主导与学生主体作用的统一。在教学上采用了“引导--放手--引导”的方法，通过教师的“导”，鼓励学生积极、主动地探究新知，获得了成功。这节课的重点是使学生掌握柱体、锥体、台体的表面积公式及应用。在教学中，遵循教学的发展规律和学生的认识规律，紧紧抓住几何体的结构特征，通过适当的问题情景，从学生熟悉的正方体、长方体的侧面展开图入手探究展开图和表面积的关系，引出要学习的内容，然后通过“思考”、“探究”等活动，通过让学生看图、画图、分析这一亲自实践过程去体会、感受，逐步引导学生体会其中的由“特殊到一般”认识规律和“创造条件促成事物的转化”思想的应用，突破难点。并采用观察、类比、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，勇于探索。以多媒体演示为载体，以“引导思考”为核心，设计课件展示，并引导学生沿着积极的思维方向，通过讲练结合，及时了解学生掌握情况，达到教学目的。学生的难点是不能建立较强的立体实物图。在教学设计中，注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合。在教学实践中，注重学生的参与，并且是思维层面的参与，并通过环环相扣的问题串实现。把问题交给学生，真正发现问题，利用生成教学，培养了学生独立性和分析问题的能力。