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立体几何专题（一）

一、空间几何体

（一）斜二测画法中的解题结论：一个平面图形和它的平面直观图形的面积之比为22:1.

（二）主要知识考点与典型题目选讲

考点1、考查几何体在平面上的投影

例1、（07安徽）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，

这些几何形体是_______________.（写出所有正确结论的编号）

．．①

矩形；

②

不是矩形的平行四边形；

③

有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④

每个面都是等边三角形的四面体；

⑤

每个面都是直角三角形的四面体. 方法点拨：主考基本概念.求解思路：画出正方体，结合图形分析排除. 答案：①③④⑤. 考点2、考查空间几何体的三视图基本概念

例2、（2011全国新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应

的侧视图可以为（ ）

正视图

俯视图

A

B

C

D

答案：D

高考练习：1、（2011山东）下图是长和宽分别相等

的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱

柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四

棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在

正（主）视图

俯视图

圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．

其中

真命题的个数是（ ）

A、3

B、2

C、1

D、0

方法点拨：对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.

答案：A 2、（2012福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（

）A、球

B、三棱锥

C、正方体

D、圆柱

答案：D 3、（2010新课标文）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何

体中的______________.（填入所有可能的几何体前的编号）

①三棱锥

②四棱锥

③三棱柱

④四棱柱

⑤圆锥

⑥圆柱

答案：①②③⑤

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4、（2012湖南）某几何体的正视

图和侧视图均如图1所示，则该

几何体的俯视图不可能是（

）

．．．答案：D

考点3、考查根据空间几何体的三视图求几何体的体积或表面积

例3、（2011安徽）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）

4

1

4 2

1

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

A、48

B、32817

C、48817

D、80 方法点拨：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，另外两个侧面是矩形，宽为4，长为17，故答案为C.

例4、（2012北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）

A、2865

B、3065

C、

56125

D、60125

俯视图

主（正）视图

侧（左）视图

方法点拨：从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长.本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：S底10，S后10，S右10，S左65，因此

该几何体表面积为：

SS底S后S右S左3065，故选B.

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例5、（2010天津理）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．

1

2

1

正视图

答案：1 2 1 侧视图

2 2 俯视图

10．

3

高考练习：1、（2011天津）一个几何体的

三视图如右图所示（单位：m），则该几何

体的体积为_______m.

2、（2011陕西）某几何体的三视图如图所示，

则它的体积是（ ）

32

B、8

332C、82

D、

3A、8

3、（2010安徽）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为（

）

A、280

B、292

C、360

D、372

1 6 1 6 2 2

6

8

2 2 正（主）视图

侧（左）视图

2 俯视图

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（备用）（2012湖北理）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）

A、810

B、3π

C、

D、6π

33

方法点拨：一个圆柱截去了1部分，答案：B．

44、(本题不做)一个几何体的某一条棱长为7，在其主视图中对应的长度为6，若在其侧视图和俯

视图中对应的长度分别为a和b，则ab的取值范围是______________．

方法点拨：由已知，应考查长方体，长为7的棱应为长方体的体对角线BD1其三个投影分别为面对角线，不妨设BD6，BC1a，CD1b．

设长方体的棱长分别为x，y，z．（注：x，y可以为0）

由已知得：

A1 D1 B1 C1 7．

x2y2z27z212222xy6ay11．

22222yzabx1122x2z2b2ab8法1、（数形结合法——运用线性规划知识求解）

线性约束条件为图中劣弧AB．

解得：17ab4．

法2、（方程法）

22设abk．联立ab8得：

D A B C y

A

1

B

2a22ka(k28)0．

因该方程有大于或等于1的根，所以得：

O

1

x

16k20a1a2k217k4．

(a1)(a1)k22k6021

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考点4、直接考查求几何体体积

例6、（05全国Ⅲ）设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上

的点，且PAQC1，则四棱锥BAPQC的体积为（

）

A、V

B、V

C、V

D、V

方法点拨：此题主考运用分割法求体积，或运用特值思想求体积. 答案：C.

高考练习：1、（2011湖北文）设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是（ ）

A、V1比V2大约多一半 B、V1比V2大约多两倍半

C、V1比V2大约多一倍 D、V1比V2大约多一倍半 答案：D

2、（2011四川）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时，求的表面积与改圆柱的侧面积之

差是___________. 答案：2R

216141312ABSC5，BCSA6，CASB7，3、已知三棱锥SABC，则三棱锥SABC的体积是_____________．

方法点拨：构造长方体，其相邻三个面的面对角线长分别为5，6，7．于是设长方体的长、x2y225x1922宽、高分别为x、y、z，则有yz36y6．

z2x249z30111xyzxyz395．

322例7、（2012全国新课标）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是

边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为（ ）

∴VSABCV长方体3V小三棱锥xyz3A、2322

B、

C、

D、

66326322，点O到面ABC的距离dRr．

33方法点拨：ABC的外接圆的半径r

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SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2d26．

3 此棱锥的体积为V113262．

SABC2d33436另解：V13，排除B、C、D，故选A．

SABC2R36D1 A1 B1 C1 高考练习：（2012山东理）如图，ABCDA1B1C1D1的

棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三

棱锥D1EDF的体积为_________.

方法点拨：VD1EDFVFD1DEE

D A B F

C 111111.

326

考点5、考查几何体的侧面展开图

AVBBVCCVA400，例8、如图所示，侧棱长为23的正三棱锥VABC中，

过A作截面AEF，求截面三角形AEF周长的最小值．

方法点拨：此题主考三棱锥的侧面展开图．

将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开

平铺在一个平面上，如图线段AA1的长为所

求三角形AEF周长的最小值，取AA1的

中点D，则VDAA1，AVD60，

可求AD3，则AA16．

D A B C 0V F E A C V B A1 高考练习：长方体三条棱长分别是AA11，AB2，AD4，则从A点出发，沿长方

体的表面到C1的最短矩离是（ ）

A、5

B、7

C、29

D、37

答案：C

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