习题2.1教学设计案例

2.1点、直线、平面之间的位置关系 习题2.1 【教学目标】

1．掌握四条公理及相关推论，会用图形语言和符号语言表示．

2．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，会用符号语言和图形语言表示．

【教学重点】

1.公理3的相关应用

2.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

3.异面直线的判断及异面直线所成角的定义

【教学难点】

1.

会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系

2.

能利用公理及定义进行相关结论的推理及运用符号语言进行书写

【教学过程】

复习：

一、平面的性质

公理1.如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

AlBl符号语言：l 图形语言：

AB公理1作用：判断直线是否在平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面，

使A,B,C。

公理2作用：确定一个平面的依据。

推论1：两条相交线，唯一确定一个平面

推论2：两条平行线，唯一确定一个平面

推论3：直线和直线外一点，唯一确定一个平面

公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：Pl

Pl公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

注：利用几何画板的动画功能清楚的演示平面的延展，学生能够非常清楚明了的理解和掌握。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a//ba//c

b//c二、空间中直线与直线之间的位置关系

异面直线所成角的定义

如图，已知异面直线a,b，经过空间中任一点O作直线a'//ab'//b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（或夹角）。

强调：

①

a'与b'所成的角的大小只由a,b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②

两条异面直线所成的角范围：(0.]；

2③

当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab；

④

两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤

计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

三、空间中直线与平面之间的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有三种：

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

四、空间中两平面的位置关系

①

两个平面平行—没有公共点(图1) ②两个平面相交—有一条公共直线（公理一）（图2）

图1 图2 五、例题选讲

1.如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：

（1）AB没有被平面遮

（2）AB被平面遮挡；

（第1题）

解答（1）

解答（2）

先让学生上黑板画图，再利用几何画板演示，增强学生的画图能力。

2..在图中，G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH,MN是异面直线的图形有------

(1) (2) (3) (4) 注：本题主要是利用公理2及推论进行推理判断

3.给出三个命题：

①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行；

②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；

③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

其中，不正确命题个数是（ ）

A.

0 B. 1 C.2

D.3

答案：C 4.如图在正方体ABCDA'B'C'D'中，

(1)直线AB与DD'所成角是多少度？

(2)直线AB与DA'所成角是多少度？

(3)直线AB'与DA'所成角是多少度？

解：(1)90（2）45(3)60

解，添加辅助线，连接B'C,AC

因为DA'//B'C,

所以AB'与DA'所成角是AB'C

又在ACB'中，

ACCB'B'A

所以AB'C60. 5.如图，ABC在平面外，ABP,ACR,求证：P,Q,R三点共线。

证明：因为ABP,AB平面ABC

所以P平面ABC,P

所以P在平面ABC与平面的交线上. 同理可证，Q和R均在这条交线上. 所以P,Q,R三点共线。

总结：给原图加入辅助线,连接AQ,帮助学生理解和掌握. 7.如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和CB上的点，G,H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于点K.求证：EH,BD,FG三条直线相交于一点。

证明：加入辅助平面，帮助学生建立空间想象

因为EH与FG相交于点K. 所以KEH

又EH平面ABD

所以K平面ABD

同理K平面BCD

又平面ABD平面BCD于BD

由公理3可得，B,D,K在同一条直线上即KBD

故EH,BD,FG三条直线相交于一点。

总结：给原图加入辅助线,连接EF,GH。空间想象能力较差的同学也能更请清楚的想明白线面之间的关系，同时更加深入的理解和掌握立体几何.

8.

如图，已知在长方体中ABCDA'B'C'D'中，AA'AB,E,F分别是BD'和AD的中点，则异面直线CD',EF所成的角的大小是多少？

本题让学生自己画图，提高画图的能力。

课后反思：

数学解题，人类学习与掌握数学的主要活动！解数学题是学习数学的主要形式，是学习数学课程的一个“实践性”环节。通过解题可以使学习者独立地、积极地进行认知活动，深入地理解数学概念，全面系统地掌握数学基本知识，实际地学习数学的本质、精神、思想，切实地掌握解数学题的基本技能和技巧，从而有效地培养运算求解能力、推理论证能力、空间想象能力、抽象概括能力和数据

处理能力等。空间立体几何正是培养推理论证和空间想象能力的载体，而空间点、线、面之间的位置关系更是学好立体几何的基础，新课标中也重点强调学生的直观感知能力，所以我在设计本节习题课时重在空间几何体的直观感知，在几个例题中都有体现，例如增加辅助线帮助学生直观感知线线关系、线面关系，运用几何画板不同颜色标注不同的直线，学生只有在心理认可的基础上，才能利用概念定理去推理证明，才能真正掌握知识本身。