3.3.4 两条平行直线间的距离优质课教案推荐

3.3.4

两条平行直线间的距离

学习目标

1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题. 两条平行直线间的距离

思考

直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

答案

点A，B，C到直线l2的距离分别为2，2，2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等. 梳理

两条平行直线间的距离

(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长. (2)图示：

(3)求法：转化为点到直线的距离. (4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝思考辨析

|kx0＋b|1.点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(

×

) 1＋k22.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(

√

) 3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(

√

) 典型例题

类型一

点到直线的距离

例1

求点P(2，－3)到下列直线的距离. 41①y＝x＋；②3y＝4；③x＝3. 33考点

点到直线的距离

题点

求点到直线的距离

41解

①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，

33则点P(2，－3)到该直线的距离为

|C1－C2|. A2＋B2

|4×2－3×－3＋1|18＝. 2254＋－3②3y＝4可化为3y－4＝0，

|－3×3－4|13则点P(2，－3)到该直线的距离为＝. 302＋32③x＝3可化为x－3＝0，

|2－3|则点P(2，－3)到该直线的距离为＝1. 1跟踪训练1

(1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________. 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

131答案

[，] 33解析

由题意知0≤|4×4－3a|≤3，

42＋－32131131解得≤a≤，故a的取值范围为[，]. 3333(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________________. 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

答案

2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0 解析

过点P(3,4)且斜率不存在时的直线方程为x＝3，与A，B两点的距离不相等，

故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，

即kx－y＋4－3k＝0，

|－2k－2＋4－3k||4k＋2＋4－3k|由已知得＝，

221＋k1＋k2∴k＝2或k＝－，

3∴所求直线l的方程为

2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0. 类型二

两平行线间的距离

例2

(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

答案

10

46m解析

由题意，得＝，∴m＝2，

31将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间的距离公式，得|－1＋6|62＋22＝510＝. 440(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

答案

2x－y＋1＝0 解析

设直线l的方程为2x－y＋C＝0，

由题意，得|3－C|22＋12＝|C＋1|22＋12，解得C＝1，

∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 跟踪训练2

(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；

考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

解

设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

由两平行直线间的距离公式，得2＝解得C＝32或C＝－20，

故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. (2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)两点，若l1与l2的距离为5，求两直线方程. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

解

由题意知，两直线的斜率都存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2的距离为5，

|－k－5|5所以2＝5，解得k＝0或. 12k＋1所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 类型三

利用距离公式求最值

有关两平行线间距离的最值

例3

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围；

(2)求d取最大值时，两条直线的方程. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

，

52＋－122|C－6|

解

(1)设经过A点和B点的直线分别为l1，l2，

l1⊥AB，显然当时，l1和l2的距离最大，

l2⊥AB

且最大值为|AB|＝－3－62＋－1－22＝310，

∴d的取值范围为(0,310]. (2)由(1)知dmax＝310，此时k＝－3，

两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0. 反思与感悟

两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值. 跟踪训练3

已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(

) A.3

B.3

C.33

D.

22考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

求两条平行直线间的距离

答案

D |5－－10|3解析

两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝＝. 262＋82